Приближенное решение трехмерного уравнения теплопроводности

Министерство науки и образования Украины

Харьковский национальный аэрокосмический университет

имени Н.Е. Жуковского “ХАИ”

Факультет СУЛА

Кафедра 304

Пояснительная записка к курсовой работе

по курсу “ СА и математическое моделирование”

на тему:

«Приближенное решение трехмерного уравнения теплопроводности»

Выполнил: студент группы 345

(должность, научная степень)

Антонов Антон Владимирович

(Ф.И.О)

Руководитель: доцент

(должность, научная степень)

Скоб Юрий Алексеевич

(Ф.И.О)

Проверил: доцент

(должность, научная степень)

Угрюмов Михаил Леонидович

(Ф.И.О)

Нормоконтроллер:

(должность, научная степень)

(Ф.И.О)

Харьков 2004

Содержание

Основные понятия метода конечных разностей. 3

Построение сетки. Сеточные функции и сеточные аналоги норм. 4

Построение разностных схем. Порядок аппроксимации. 8

Метод прогонки. 11

Методы расщепления. 13

Методы конструирования граничных условий 16

Список использованной литературы 19

Основные понятия метода конечных разностей.

Для приближённого решения краевых задач теплопроводности широко применяется метод конечных разностей (метод сеток). Идея метода состоит в следующем.

Область непрерывного изменения аргументов заменяется расчетной сеткой – дискретным множеством точек (узлов). Вместо функции непрерывных аргументов вводятся функции дискретных аргументов – сеточные функции, определяемые в узлах сетки. Частные производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются (аппроксимируются) разностными соотношениями.

Если рассматривать функцию целочисленного аргумента , где то можно образовать разности в точке первого порядка:

правую:

левую:

Обозначив получим , .

Тогда для разности второго порядка имеем:

Аналогично определяется разность го порядка:

В результате такой замены краевая задача в частных производных сводится к системе разностных уравнений, называемых ещё разностной схемой.

Если решение системы разностных уравнений существует и при измельчении сетки стремится к решению поставленной задачи (т.е. сходится), то это решение и является искомым приближённым решением краевой задачи. Несмотря на то что число неизвестных в этой системе алгебраических уравнений весьма значительно, решение её с точки зрения математических трудностей более просто, чем исходной задачи.

Построение сетки. Сеточные функции и сеточные аналоги норм.

Итак, заменим область непрерывного изменения аргументов искомой функции некоторым конечным множеством точек, лежащих в этой области. Это множество назовём разностной сеткой, сами точки – узлами сетки, а функции, определённые тем или иным способом на этой сетке, - сеточными функциями.

Расположение узлов сетки в области может быть произвольным и определяется спецификой решаемой задачи.

Рассмотрим примеры сеток:

1. В простейшем случае одномерной задачи можно ввести равномерную сетку. Для этого отрезок разобьём на равных частей точками , (рис. 1.1). Расстояние между узлами называется шагом сетки. Так как в рассматриваемом случае , то множество узлов представляет собой равномерную сетку на отрезке и обозначается Если отрезок разбит на частей произвольно взятыми точками, то получим неравномерную сетку с шагом , зависящим от номера и .

2. Сетка на плоскости. Пусть - прямоугольник. Отрезки и разобьём соответственно на и частей и через точки , , , проведём прямые, параллельные координатным осям. Множество точек образует сетку в прямоугольнике . Полученная сетка равномерна по каждой переменной. Если , тот сетка называется прямоугольной, в противном случае – квадратной. Если построить сетку неравномерной хотя бы по одной координате, то полученная сетка будет называться неравномерной. На рис. (1.2) дан пример прямоугольной сетки.

3. Приведём пример неравномерной изометрической сетки на плоскости. Область представляющую собой кольцо, покроем окружностями

где

и лучами где Множество узлов

и представляет собой сетку в рассматриваемой области..

По аналогии с разностной сеткой для пространственных областей вводится сетка по временной переменной . В общем случае эта сетка может быть неравномерной и тогда - шаг сетки - зависит от номера шага. Узлы сетки определяются точками

Для решения, например, одномерной по пространственным координатам нестационарной задачи используют произведение сеток

представляющее собой пространственно-временную разностную сетку. Совокупность узлов сетки, лежащих на линии , называют -м слоем. Для простых областей, рассмотренных ранее, всегда можно ввести такую сетку, чтобы «крайние» естественные узлы сетки попадали на границу области. Эти узлы называются граничными, а остальные – внутренними. Граничные условия задачи следует задавать именно в этих граничных узлах. Однако для областей более сложной формы, например когда граница двумерной области криволинейна, «крайние» естественные узлы сетки далеко не все попадут на границу области. Тогда следует рассматривать два возможных подхода к заданию граничных условий: 1) ввести дополнительные узлы в точках пересечения линии сетки с границей и в них задать граничные условия; 2) границу области аппроксимировать ломаной, проходящей через ближайшие к границе естественные узлы и перенести каким-то образом заданные граничные условия на эту ломаную.

Вопрос оптимального выбора шага сетки и те самым количества её узлов является не простым. С одной стороны, чем большая требуется точность, с которой необходимо получить решение, тем более мелкий шаг желателен. С другой стороны, слишком мелкий шаг значительно увеличивает число неизвестных, что повышает требования к быстродействию и объёму памяти ЭВМ. Очевидно, должны существовать некоторые «оптимальные» сетки со сравнительно небольшим числом узлов. Такие сетки принято называть грубыми или реальными.

Построение разностной схемы проводится таким образом, чтобы получаемая в результате решения сеточная функция была как можно ближе к решению соответствующей краевой задачи теплопроводности. Так как функция есть функция дискретного аргумента, а функция - непрерывного, то они принадлежат разным функциональным пространствам.

Для определения степени близости этих функций обычно поступают так. Осуществляется переход от непрерывных функций к сеточным по правилу: значение сеточной функции в узле равно значению непрерывной функции в этой же точке. Например, в узле сетки одномерной нестационарной задачи

,

причём пространственные узлы сетки обозначают подстрочными индексами, а временные – надстрочными. В этом случае говорят. Что сеточная функция является проекцией функции на пространство сеточных функций.

Существуют и другие способы проектирования решения на пространство сеточных функций. Например, если функция имеет разрыв первого рода или только интегрируемая по , то полагают

Для оценки близости функции и рассматривается величина , где некоторая норма в пространстве сеточных функций. Нормы в сеточных пространствах вводят так, чтобы при стремлении шага сетки к нулю они переходили в нормы в обычных функциональных пространствах. Наиболее часто используются: сеточный аналог чебышевской нормы в пространстве непрерывных функций

;

сеточный аналог гильбертовой нормы в

,

где в одномерном случае; в двухмерном случае.

Тогда если при бесконечном дроблении сетки величина , то можно говорить о близости решений разностной задачи и краевой задачи .

Построение разностных схем. Порядок аппроксимации.

Решение исходной краевой задачи сводится, таким образом, к нахождению таблицы числовых значений функции в точках сетки на соответствующей области. Для приближённого вычисления этой таблицы необходимо дифференциальный оператор краевой задачи , заданный в классе непрерывного аргумента, приближённо заменить (аппроксимировать) разностным оператором , заданным на множестве сеточных функций. Разностный аналог, аппроксимирующий исходную краевую задачу, можно построить различными способами. Обычно требуют, чтобы построенная разностная схема на сравнительно грубых сетках обеспечивала необходимый уровень точности для получаемого приближённого решения. Поэтому при построении