0,0000000
500 0,4711690 -0,7855648
1000 0,3331556 -0,9275619
1500 0,2624218 -1,0487135
2000 0,2144795 -1,1413514
2500 0,1800178 -1,2098870
3000 0,1544189 -1,2615253
3500 0,1348421 -1,3005253
4000 0,1194791 -1,3313923
4500 0,1071489 -1,3561583
5000 0,0970596 -1,3764144
Как видно из расчётов, частотные характеристики достаточно четко позволяют нам говорить о характере цепи. По виду ФЧХ и АЧХ, можно определённо сказать, что цепь, схема которой изображена на рисунке 1., представляет собой фильтр нижних частот с полосой пропускания от 0 до 219 рад/с.
4. РАСЧЕТ ИМПУЛЬСНОЙ И ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИК ЦЕПИ.
Для нахождения выходного процесса необходимо знать переходную и импульсную характеристики. Для нахождения переходной и импульсной характеристик можно воспользоваться операторным методом, базирующимся на преобразовании Лапласа. Для этого сначала необходимо определить операторный коэффициент передачи цепи К(р), а затем на его основе - изображение по Лапласу её импульсной G(p)=K(p) и переходной H(p)=K(p)/p характеристик.
Временные характеристики цепи g(t) и h(t) являются оригиналами операторных функций G(p) и H(p) соответственно.
Для определения операторного коэффициента передачи буду использовать комплексный коэффициент передачи K(j) ,путём замены j на p ,в результате получу операторный коэффициент передачи K(p).
Как уже было сказано ранее для нахождения импульсной характеристики необходимо определить операторный коэффициент передачи цепи К(р), а затем на его основе изображение по Лапласу импульсной характеристики G(p)=K(p).
Далее по таблице оригиналов и изображений находим оригинал операторной функции G(p), который и будет являться импульсной характеристикой цепи g(t):
График импульсной характеристики изображен на рисунке 5.
Рисунок 5 - Импульсная характеристика.
Импульсная характеристика отражает реакцию системы на входной импульсный сигнал произвольной формы с единичной площадью при условии, что длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с временем переходного процесса в цепи.
На основе операторного коэффициента передачи цепи К(р) определим изображение по Лапласу переходной характеристики цепи H(p)=K(p)/p.
Далее по таблице оригиналов и изображений находим оригинал операторной функции H(p), который и будет являться переходной характеристикой цепи h(t):
График переходной характеристики изображен на рисунке 6.
Рисунок 6 - Переходная характеристика.
Проверим правильность полученной характеристики путем проведения качественного физического анализа процессов в цепи при включении постоянного входного сигнала (в начальный момент времени t=0 и в установившемся режиме ). Представим, что на входе цепи действует напряжение, заданное единичной функцией Хевисайда [1]. В начальный момент времени емкости разряжены и представляют собой для постоянного сигнала короткое замыкание. В результате передаточная характеристика в начальный момент времени должна быть равна 0, что соответствует действительности. Теперь оценим поведение характеристики на бесконечности. В установившемся режиме емкости полностью заряжены и представляют собой для постоянного во времени сигнала разрыв, следовательно, получим на выходе максимальное напряжение, что свидетельствует о том, что передаточная характеристика должна стремиться на бесконечности к 1. Из результатов проведенного анализа можно сделать вывод, что передаточная характеристика найдена правильно.
Численные значения импульсной и переходной характеристик представлены в таблице 3.
Таблица 3 – Значения импульсной и переходной характеристик.
t,мc g(t), 1/c h(t)
0,0 499,5004995 0,0000000
0,5 313,4602995 0,0245429
1,0 211,8263082 0,7874358
1,5 154,5311274 0,1445970
2,0 120,6986741 0,2130831
2,5 99,4337773 0,2798223
3,0 85,0392886 0,3428447
3,5 74,5210125 0,4013033
4,0 66,2944478 0,4550936
4,5 59,5104616 0,5043176
5,0 53,7046857 0,5492336
Итак, все характеристики цепи, необходимые для определения выходного процесса исследуемой цепи, найдены. По форме полученных характеристик можно определить приблизительную форму выходного сигнала. Исследуемая цепь будет обладать как бы сглаживающими свойствами. Выходной сигнал должен уменьшиться по амплитуде. Значение выходного сигнала в начальный момент времени будет равно 0, что следует из переходной характеристики цепи.
5. РАСЧЕТ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА.
Выходной сигнал, как уже было сказано ранее, может быть найден с помощью интеграла Дюамеля.
Входное воздействие задано в следующем виде:
Зная аналитический вид входного сигнала, можем найти аналитический вид выходного сигнала на интервале .
Так как , то получим:
Беря первообразные и приводя подобные члены, придем к следующему виду функции :
= В
Таким образом, получили аналитическое выражение для первой половины выходного сигнала. График первой половины выходного сигнала изображен на рисунке 7.
Рисунок 7 - График выходного сигнала для части воздействия, поддающейся интегрированию.
Вторую половину выходного сигнала, которая не поддается аналитическому определению, можно найти методом численного интегрирования. Для расчёта выходного сигнала можно воспользоваться одним из известных методов численного интегрирования (метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона и т.д.). В данной курсовой работе используется метод Симпсона, так как этот метод является одним из самых быстродействующих (с точки зрения ЭВМ) и точных методов. Реализуем данный метод с помощью ЭВМ, то есть составим программу на языке программирования Turbo Pascal
( приложение1) для нахождения выходного сигнала.
В таблице 4 приведены значения выходного сигнала, рассчитанного аналитически и численно. В таблице используются следующие обозначения: Uвых (t) - выходной сигнал, рассчитанный аналитически, U*вых(t) - выходной сигнал, рассчитанный численно.
Таблица 4 - Сравнительная таблица.
t, мc Uвых (t), В U*вых (t), В
0 0,0 0,0
0,1 0,0027863 0,0027867
0,3 0,0217565 0,0217570
0,5 0,0526630 0,0526638
0,9 0,1313298 0,1313302
1,1 0,1732781 0,1732792
1,3 0,2147115 0,2147123
1,5 0,2547179 0,2547183
1,7 0,2927802 0,2927808
1,9 0,3286491 0,3286495
2,1 0,3622483 0,3622486
2,3 0,3936127 0,3936130
2,5 0,4228445 0,4228439
2,7 0,4478564
2,9 0,4613124
3,1 0,4590048
3,3 0,4416272
3,5 0,4134080
3,7 0,3798142
3,9 0,3455833
4,1 0,3137747
4,3 0,2857786
4,5 0,2618216
4,7 0,2415261
5,0 0,2166698
На рисунке 8 изображен график выходного сигнала, рассчитанного численно.
Рисунок 8 - График выходного сигнала.
Как я и предполагал, в начальный момент времени значение выходного сигнала равно 0, амплитуда выходного сигнала уменьшилась. Также на графике выходного сигнала мы наблюдаем смещение максимума (вправо).
Среднеквадратическое отклонение вычисляю по формуле:
σ =2,572*10E-7
Таким образом, значения аналитического и численного расчётов совпадают до седьмого знака.
6. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.
Проверим полученные в разделе 5 результаты определения выходного сигнала с помощью экспериментальной лабораторной установки, структурная схема которой представлена на рисунке 9.
Рисунок 9 - Экспериментальная установка.
Генератор входного сигнала ГС с высокой точностью формирует заданное напряжение