Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА РАДИОФИЗИКИ

специализация

ЭВМ и АВТОМАТИЗАЦИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

ОЦЕНКА АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА, НАБЛЮДАЕМОГО ЗА ВРЕМЯ, СОИЗМЕРИМОЕ С ЕГО ПЕРИОДОМ,

НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА.

Дипломная работа

Научный руководитель:

Доцент

Нугманов И. С.

Исполнитель: студентка гр. 675

Барская А. С.

Содержание

Введение. 3

Глава 1. Оценка параметров сигнала на фоне помех. 5

1.1. Описание сигнала и помехи. 5

1.2. Методы оценок параметров сигнала. 8

1.3. Характеристики оценок. 11

Глава 2.Оценки параметров сигнала по методу максимума функционала

правдоподобия. 14

2.1. Общая теория метода. 14

2.2. Совместные оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала. 16

2.3. Оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала на фоне белого

шума при целом значении Tn / T0. 18

Глава 3. Оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала на фоне

белого шума при Tn, соизмеримом с T0. 19

3.1. Вывод формул для оценок амплитуды и фазы сигнала. 19

3.2. Совместная плотность распределения оценок амплитуды и фазы. 23

3.3. Математическое ожидание и дисперсия оценок параметров. 30

Глава 4. Моделирование процесса. Результаты моделирования. 34

4.1.Модель нормального белого шума. 34

4.2 Сумма гармонического сигнала и шума. 36

4.3 Процедура оценки амплитуды и фазы, расчет мат. ожидания и

дисперсии оцененных параметров. 37

Заключение. 43

Литература. 44

Приложения. 45

Введение.

Передача информации по каналам связи, радиолокация, радионавигация, физические эксперименты и т.д. связаны с проблемой измерения и определения параметров сигналов, несущих информацию об исследуемом объекте.

Информация может быть заключена в амплитуде сигнала, частоте, фазе, времени задержки и т.д.

Во всех этих случаях необходимо определить с некоторой погрешностью истинное значение измеряемого параметра. Тем более что сигнал, несущий информацию, подвержен воздействию помех. Поэтому алгоритмы, по которым обрабатываются сигналы, должны учитывать случайный характер этих сигналов. В связи с этим была развита математическая теория обработки сигналов, основанная на теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики. Теоретические разработки позволили определить понятие оптимальной обработки сигналов, т.е. качественные и количественные показатели сигналов, а также методы их обработки.

Данная работа посвящена выводу формул для расчета оценок амплитуды и фазы гармонического сигнала с известной частотой, искаженного нормальным белым шумом. Сигнал наблюдается за время Tn, соизмеримое с его периодом T0.

• В первой главе дипломной работы вводятся необходимые термины и основные положения теории обработки сигнала. Приведен краткий обзор методов оценки параметров сигнала на фоне помех.

• Во второй главе подробно описано оценивание амплитуды и фазы по методу максимума функционала правдоподобия, когда время наблюдения много больше периода исследуемого сигнала.

• В третьей главе непосредственно решается поставленная в дипломе задача. Используя метод максимума функционала правдоподобия, получены формулы для оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала, искаженного белым нормальным шумом, при условии, что время наблюдения соизмеримо с периодом сигнала. Далее выводится формула для совместного распределения оценок и проводится анализ мат. ожидания и дисперсии оценок амплитуды и фазы сигнала.

• Четвертая глава посвящена моделированию процесса и проверке полученных в третьей главе формул с использованием результатов моделирования.

Глава 1. Оценка параметров сигнала на фоне помех.

1.1 Описание сигнала и помехи.

Сигнал описывается некоторой функцией времени и содержит параметры , которые несут информацию об изучаемом объекте.

В частности, если имеем гармонический сигнал, то , где частота , фаза , амплитуда , могут соответствовать определенным состояниям физического объекта.

Параметры могут быть как случайными, так и детерминированными. Если параметры случайны, то экспериментатору может быть известно совместное распределение значений параметров, или совместная плотность, при непрерывных значениях параметров или совместная вероятность при дискретных значениях параметров .

Иногда при приеме сигналов распределение значений параметров неизвестно, т.е. априорная информация о параметрах отсутствует.

В реальности на приемник поступает искаженный сигнал в результате воздействия на него помех.

Согласно классификации [2] помехи могут быть мультипликативными и аддитивными. Аддитивная помеха n(t) алгебраически складывается с сигналом S(t,λ), т. е. сигнал, фиксируемый экспериментатором, представляет собой

ξ(t)=S(t, λ)+n(t) 0 ≤ t ≤ Tn. (1.1.1)

Помеха n(t) представляет собой случайный процесс, вероятностные характеристики которого известны экспериментатору.

На практике наиболее часто встречается помеха n(t) в виде нормального белого шума, т.е. одномерная плотность распределения значений помехи в любой момент времени подчиняется нормальному закону

, (1.1.2)

с математическим ожиданием M[n(t)]=0 и дисперсией .

Спектральная плотность белого шума постоянна на всём диапазоне частот:

, а корреляционная функция равна

Если измерение происходит в фиксированные моменты времени с постоянным интервалом между отсчётами, то в результате на входе обрабатывающего устройства будут зафиксированы величины

, где (1.1.3)

, , .

Выражения , , - представляют собой средние значения соответствующих величин на интервале .

Определим величину для как

. (1.1.4)

Многомерная плотность распределения шума n(t) имеет вид

(1.1.5)

Рассмотрим распределение случайной величины , которая является функцией и .

Из формулы (1.1.3) получим

= - .

Используя плотность распределения (1.1.2) для одномерного случая или (1.1.5) для многомерного случая, и зная, что якобиан преобразования равен 1, получим условную плотность распределения выборочных значений y1…ym случайных величин.

. (1.1.6)

Если в (1.1.6) устремим интервал дискретизации к нулю, то получим функционал правдоподобия:

(1.1.7)

Константа С1 не зависит от λ и согласно [4] ограничена, т.е. .

Положим, известна совместная плотность f(y(ti),λ) распределения выборочных значений и параметров. Согласно теореме умножения вероятностей получим соотношение

(1.1.8)

Величины, входящие в выражение (1.1.8) имеют следующий смысл.

-безусловная плотность распределения выборочного значения y(ti) случайной величины ξ(ti).

-условная плотность распределения параметров λ, если известна величина y(ti) : или апостериорная плотность распределения

-безусловная плотность распределения параметров.

- условная плотность распределения выборочного значения y(ti), рассматриваемая как функция λ и называется функцией правдоподобия.

1.2 Методы оценок параметров сигналов.

Результаты измерений y(t1),y(t2),…,y(tn) образуют выборку у1,у2,…,уn, зависящую от истинного значения параметра λ. Любая функция Θ(у1,у2,…,уn) от выборочных значений называется статистикой.

Функция Θ(у1,у2,…,уn) вводится субъективно и определяется экспериментатором. Те значения параметра λ, которые получаются в результате той или иной статистики Θ(у1,у2,…,уn) называются оценкой параметра λ [4].Для непрерывной функции y(t), будем иметь функционал .

Ввиду того, что выбор функции Θ(у1,у2,…,уn) субъективен, то существуют различные методы оценки параметров λ. Эти методы определяются экспериментатором в зависимости от существующих сведений о параметре λ и желательных свойств оценок .

Из формулы (1.1.8) видно, что параметр λ входит в соответствующие плотности распределения. И в зависимости от используемого распределения получим тот или иной метод оценки параметра распределения.

Наиболее распространены следующие методы оценки.

1. Оценка по минимуму среднеквадратичной погрешности.

2. Оценка по максимуму апостериорной вероятности.

3. Оценка по максимуму функции правдоподобия.

4. Оценка