Программная реализация модального управления для линейных стационарных систем

Курсовая работа:

«Программная реализация модального управления для линейных стационарных систем»

Постановка задачи:

1. Для объекта управления с математическим описанием

, (1) - задано,

где - n-мерный вектор состояния, ,

- начальный вектор состояния,

- скалярное управление,

- матрица действительных коэффициентов,

- матрица действительных коэффициентов,

найти управление в функции переменных состояния объекта, т.е.

, (2)

где - матрица обратной связи, такое, чтобы замкнутая система была устойчивой.

2. Корни характеристического уравнения замкнутой системы

(3)

должны выбираться по усмотрению (произвольно) с условием устойчивости системы (3).

Задание:

1. Разработать алгоритм решения поставленной задачи.

2. Разработать программу решения поставленной задачи с интерактивным экранным интерфейсом в системах Borland Pascal, Turbo Vision, Delphi - по выбору.

3. Разработать программу решения систем дифференциальных уравнений (1) и (3) с интерактивным экранным интерфейсом.

4. Разработать программу графического построения решений систем (1) и (3) с интерактивным экранным интерфейсом.

Введение

Наряду с общими методами синтеза оптимальных законов управления для стационарных объектов всё большее примене¬ние находят методы, основанные на решении задачи о размеще¬нии корней характеристического уравнения замкнутой системы в желаемое положение. Этого можно добиться надлежащим выбором матрицы обратной связи по состоянию. Решение ука¬занной задачи является предметом теории модального управ¬ления (термин связан с тем, что корням характеристического уравнения соответствуют составляющие свободного движения, называемые модами).

Алгоритм модального управления.

Соглашения:

• Задаваемый объект управления математически описывается уравнением

, (1)

где и - матрицы действительных коэффициентов,

- n-мерный вектор состояния

- скалярное управление,

- порядок системы (1).

• Обратная связь по состоянию имеет вид

, (2)

где - матрица обратной связи.

• Система с введенной обратной связью описывается уравнением

(3)

• Характеристическое уравнение системы (1) имеет вид

(4)

• Характеристическое уравнение системы (3) с задаваемыми (желаемыми) корнями имеет вид

(5)

Алгоритм:

1. Для исходной системы (1) составляем матрицу управляемости

2. Обращаем матрицу , т.е. вычисляем .

Если не существует (т.е. матрица - вырожденная), то прекращаем вычисления: полное управление корнями характеристического уравнения (5) не возможно.

3. Вычисляем матрицу

4. Составляем матрицу

5. Вычисляем матрицу, обратную матрице , т.е.

6. Вычисляем матрицу - матрицу в канонической форме фазовой переменной:

где - коэффициенты характеристического уравнения (4).

Матрица в канонической форме имеет вид

7. Составляем вектор , элементам которого являются коэффициенты характеристического уравнения (4), т.е. , ,

где - элементы матрицы .

8. Находим коэффициенты характеристического уравнения (5) (см. пояснения) и составляем из них вектор .

9. Вычисляем вектор .

- искомая матрица обратной связи системы (3), но она вычислена для системы, матрицы которой заданы в канонической форме фазовой переменной ( и ).

10. Для исходной системы (3) матрица обратной связи получается по формуле

Матрица - искомая матрица обратной связи.

Пояснения к алгоритму:

В данной работе рассматривается случай, когда управление единственно и информация о переменных состояния полная. Задача модального управления тогда наиболее просто решается, если уравнения объекта заданы в канонической форме фазовой переменной.

Так как управление выбрано в виде линейной функции переменных состояния , где является матрицей строкой . В таком случае уравнение замкнутой системы приобретает вид . Здесь

Характеристическое уравнение такой замкнутой системы будет следующим

Поскольку каждый коэффициент матрицы обратной связи входит только в один коэффициент характеристического уравнения, то очевидно, что выбором коэффициентов можно получить любые коэффициенты характеристического уравнения, а значит и любое расположение корней.

Если же желаемое характеристическое уравнение имеет вид

,

то коэффициенты матрицы обратной связи вычисляются с помощью соотношений:

Если при наличии одного управления нормальные уравнения объекта заданы не в канонической форме (что наиболее вероятно), то, в соответствии с пунктами №1-6 алгоритма, от исходной формы с помощью преобразования или нужно перейти к уравнению в указанной канонической форме.

Управление возможно, если выполняется условие полной управляемости (ранг матрицы управляемости M должен быть равен n). В алгоритме об управляемости системы судится по существованию матрицы : если она существует, то ранг матрицы равен ее порядку (n). Для объекта управления с единственным управлением матрица оказывается также единственной.

Для нахождения коэффициентов характеристического уравнения (5), в работе используется соотношения между корнями и коэффициентами линейного алгебраического уравнения степени n:

, (k = 1, 2, ... , n)

где многочлены - элементарные симметрические функции, определяемые следующим образом:

,

,

,

...

где Sk - сумма всех произведений, каждое из которых содержит k сомножителей xj с несовпадающими коэффициентами.

Программная реализация алгоритма.

Текст программной реализации приведен в ПРИЛОЖЕНИИ №1. Вот несколько кратких пояснений.

• Программа написана на языке Object Pascal при помощи средств Delphi 2.0, и состоит из следующих основных файлов:

KursovayaWork.dpr

MainUnit.pas

SubUnit.pas

Matrix.pas

Operates.pas

HelpUnit.pas

OptsUnit.pas

• KursovayaWork.dpr - файл проекта, содержащий ссылки на все формы проекта и инициализирующий приложение.

• В модуле MainUnit.pas находится описание главной формы приложения, а также сконцентрированы процедуры и функции, поддерживаюшие нужный интерфейс программы.

• Модули SubUnit.pas и Operates.pas содержат процедуры и функции, составляющие смысловую часть программной реализации алгоритма, т.е. процедуры решения задачи модально управления, процедуры решения систем дифференциальных уравнений, процедуры отображения графиков решений систем и т.д. Там также находятся процедуры отображения результатов расчетов на экран.

• В модуле Matrix.pas расположено описание класса TMatrix - основа матричных данных в программе.

• Модули HelpUnit.pas и OptsUnit.pas носят в программе вспомогательный характер.

• Для решения систем дифференциальных уравнений использован метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности с фиксированным шагом. Метод был позаимствован из пакета программ NumToolBox и адаптирован под новую модель матричных данных.

• Обращение матриц производится методом исключения по главным диагональным элементам (метод Гаусса). Этот метод так же был позаимствован из NumToolBox и соответствующе адаптирован.

Пориложение.

program KursovayaWork;

uses

Forms,

MainUnit in 'MainUnit.pas' {Form_Main},

OptsUnit in 'OptsUnit.pas' {Form_Options},

SubUnit in 'SubUnit.pas',

Matrix in 'Matrix.pas',

Operates in 'Operates.pas',

HelpUnit in 'HelpUnit.pas' {Form_Help};

{$R *.RES}

begin

Application.Initialize;

Application.Title := 'Модальное управление';

Application.CreateForm(TForm_Main, Form_Main);

Application.CreateForm(TForm_Options, Form_Options);

Application.CreateForm(TForm_Help, Form_Help);

Application.Run;

end.

unit MainUnit;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

ComCtrls, Tabnotbk, Menus, StdCtrls, Spin, ExtCtrls, Buttons, Grids,

OleCtrls, VCFImprs, GraphSvr,