←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5 6 7 8
Сибирская Государственная Академия
телекоммуникаций и информатики.
А. Т. Бизин
ВВЕДЕНИЕ
В ЦИФРОВУЮ ОБРАБОТКУ
СИГНАЛОВ
Новосибирск 1998г.
Автор: Бизин Анатолий Тимофеевич,
Доцент кафедры ТЭЦ СибГАТИ
Обсуждены основные положения теории дискретных сигналов и способы их обработки. Рассмотрены особенности цифровой реализации дискретных систем. Изложены методы расчета цифровых фильтров, получившие наибольшее распространение.
Эффекты конечной разрядности ЦФ и их учет рассмотрены применительно к системам с фиксированной запятой. Погрешности дискретизации и восстановления обсуждены на уровне необходимом для понимания вопроса.
Для технических факультетов.
1. Дискретные сигналы.
1.1 Дискретизация непрерывных сигналов.
Обработка сигналов на цифровых ЭВМ начинается с замены непрерывного сигнала X(t) на дискретную последовательность, для которой применяются такие обозначения
x(nT) , x(n) , xn , {x0 ; x1 ; x2 ; … } .
Дискретизация осуществляется электронным ключом (ЭК) через равные интервалы времени T (Рис. 1.1).
Дискретная последовательность аппроксимирует исходный сигнал X(t) в виде решетчатой функции X(nT). Частота переключения электронного ключа fд и шаг дискретизации T связаны формулой
f¬¬д = 1 / T . (1.1)
Дискретная последовательность или дискретный сигнал выражается через исходный непрерывный (аналоговый) сигнал следующим образом
x(nT) = x(t) *(t - nT) , (1.2)
где *(t) - дискретная * - функция (Рис. 1.2, а),
*(t - nT) - последовательность * - функций (Рис. 1.2, б).
Погрешность, возникающую при замене аналогового сигнала дискретным сигналом, удобно оценить сравнивая спектры этих сигналов.
1.2. Связь спектров дискретного и непрерывного сигналов.
Исходное выражение для спектра дискретного сигнала с учетом (1.2) запишется следующим образом
X(j*) = x(nT) e-j*t dt = x(t) *(t - nT) e-j*t dt .
Периодическую последовательность * - функций здесь можно разложить в ряд Фурье
*(t - nT) = ,
где с учетом формулы связи спектров периодического и непериодического сигналов
, поскольку F*(j*) = 1
После замены в исходном выражении периодической последовательности * - функций ее разложением в ряд Фурье получим
X(j*) = x(t)( ) e-j*t dt = x(t) e-j*t dt .
Учитывая здесь теорему смещения спектров, т.е. :
если f(t) * F(j*), то f(t) * F[j(* * *0)] ,
последнее равенство можно представить в виде формулы, выражающей связь спектров дискретного X(j*) и аналогового Xa(j*) сигналов
X(j*) = Xa[j(* - )] . (1.3)
На основании формулы (1.3) с учетом поясняющих рисунков 1.3, а, б можно сделать следующие выводы :
1. Спектр дискретного сигнала состоит из суммы спектров исходного непрерывного сигнала, сдвинутых друг относительно друга по оси частот на величину равную частоте дискретизации *д
2. Спектры аналогового и дискретного сигналов совпадают в диапазоне частот [-0,5*д ; 0,5*д], если удовлетворяется неравенство
*в * 0,5*д , (1.4)
где *в - верхняя частота спектра аналогового сигнала.
Равенство в (1.4) соответствует утверждению теоремы Котельникова о минимальной частоте *д.
1. Смежные спектры Xa(j*) в (1.3) частично перекрываются, если условие (1.4) не выполняется (Рис 1.3, б). В этом случае спектр дискретного сигнала искажается по отношению к спектру аналогового сигнала. Эти искажения являются неустранимыми и называются ошибками наложения.
2. Аналоговый сигнал можно восстановить полностью по дискретному сигналу с помощью ФНЧ, частота среза которого *с = 0,5*д. Это утверждение основано но совпадении спектров дискретного сигнала на выходе ФНЧ и непрерывного сигнала. Сигнал восстанавливается без искажений, если выполняется условие (1.4). в противном случае сигнал восстанавливается с искажениями, обусловленными ошибками наложения.
Выбор частоты дискретизации осуществляется в соответствии с (1.4). если частота *в не известна, то выбор из *д определяется расчетом по формуле (1.1), в которой интервал T выбирается приближенно с таким расчетом, чтобы аналоговый сигнал восстанавливался без заметных искажений плавным соединением отсчетов дискретного сигнала.
1.3 Преобразование Фурье и Лапласа для дискретных сигналов.
Для дискретных сигналов формулы Фурье и Лапласа представляется возможным упростить. Действительно, поскольку
то после перехода к дискретной переменной пара преобразований Фурье принимает вид
Здесь применяются формулы одностороннего преобразования Фурье, так как начало отсчета совмещается с началом действия дискретного сигнала.
Формулы Фурье для дискретных сигналов применяются в нормированном виде, поэтому после замены X(nT) * X(nT) / T преобразование Фурье принимает окончательный вид
(1.5)
Формулы Лапласа для дискретных сигналов получаются на основании (1.5) после обобщения частоты на всю плоскость комплексного переменного, то есть j* * P = * + j*
(1.6)
1.4. Z - преобразование.
Эффективность частотного анализа дискретных сигналов существенно возрастает, если заменить преобразование Лапласа Z - преобразованием. В этом случае изображение сигнала X(p), которое представляет собой трансцендентную функцию переменной P = * + j*, заменяется Z - изображением сигнала X(Z), которое является рациональной функцией переменной Z = x + jy.
Формулы Z - преобразования получаются из формулы Лапласа (1.6) заменой переменных
epT = Z . (1.7)
Подстановка (1.7) и ее производной
dZ / dp = TepT
в (1.6) приводит к формулам прямого и обратного Z - преобразования
(1.8)
Точки на мнимой оси комплексного переменного p = * +j*, то есть точки p = j*, определяют реально частотные характеристики сигнала. Мнимой оси соответствует на плоскости Z единичная окружность, так как в этом случае согласно (1.7)
Z = ej*T = (1.9)
Поэтому непрерывному росту переменной на мнимой оси плоскости p = * + j*, соответствует многократный обход единичной окружности на плоскости z = x + jy (Рис. 1.4). Этим фактом объясняется, в частности, то обстоятельство, что интегрирование в формуле обратного z - преобразования (1.8) осуществляется вдоль единичной окружности плоскости z взамен интегрирования вдоль прямой параллельной мнимой плоскости p.
Учитывая вышеизложенное и формулы (1.7), (1.9) можно утверждать, что левая полуплоскость переменного p = * + j* отображается на плоскость единичного круга переменного z = x + jy, правая полуплоскость - на плоскость z за пределами единичного круга.
Подстановка (1.9) в z - изображение сигнала приводит к спектру этого сигнала, подстановка (1.7) дает изображение по Лапласу.
Пример. Определить спектр и построить графики модуля и аргумента спектральной плотности сигнала x(nT) = {a ; b} (Рис. 1.5, а).
Решение.
Z - изображение сигнала согласно (1.8)
X(Z) = x(nT) Z-n = x(0T) Z-0 + x(1T) Z-1 = a + bZ-1
Отсюда подстановкой (1.9) определяем спектр сигнала
X(j*) = a + be-j*T.
Графики модуля и аргумента спектральной плотности приведены на рисунке 1.6, а, б на интервале частот [0 ; *д].
Вне интервала частот [0 ; *д] частотные зависимости повторяются с периодом *д.
1.5 Основные теоремы Z - преобразования.
Перечислим без доказательства теоремы z - преобразования, которые потребуются в последующих разделах.
1. Теорема линейности.
Если x(nT) = ax1(nT) + bx2(nT) ,
то X(Z) = a X1(Z) + bX2(Z).
2. Теорема запаздывания.
Если x(nT) = x1(nT - QT) ,
то X(Z) = X1(Z) Z-Q.
3. Теорема о свертке сигналов.
Если X(nT) = x1(kT) x2(nT - kT) ,
то X(Z) = X1(Z) X2(Z).
4. Теорема об умножении сигналов.
Если x(nT) = x1(nT) x2(nT) ,
то X(Z) = X1(V) X2( ) V-1 dV,
где V, Z - переменные на плоскости Z.
5. Теорема энергий (равенство Парсеваля).
x2(nT) = X(Z) X(Z-1) Z-1 dZ.
Z - преобразование дискретных сигналов имеет значение равное значению преобразования Лапласа непрерывных сигналов.
1.6. Дискретное преобразование Фурье.
Если сигнал ограничен во времени значением tu , а его спектр - частотой *в , то он полностью характеризуется конечным числом отсчетов N как во временной, так и в частотной областях (Рис. 1.7, а, б) :
N = tu/T - во временной области, где T = 1/fд ,
N = fд/f1 - в частотной области, где f1 = 1/tu .
Дискретному сигналу соответствует периодический спектр, дискретному спектру
←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5 6 7 8