Лекции по теории вероятности и математической статистике

Лекции по теории вероятности и математической статистикеТеория вероятности и математическая статистика

Введение.

Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.

Например: определить однозначно результат выпадения “орла” или “решки” в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число “орлов” и “решек”.

Испытанием называется реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которого в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.

Например: испытание - подбрасывание монеты.

Результатом испытания является событие. Событие бывает:

Достоверное (всегда происходит в результате испытания);

Невозможное (никогда не происходит);

Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).

Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани.

Конкретный результат испытания называется элементарным событием.

В результате испытания происходят только элементарные события.

Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий.

Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с “1” или “2”.

Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий.

Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий.

Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.

Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.

Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани.

Введем следующие обозначения:

А - событие;

 - элементы пространства ;

 - пространство элементарных событий;

U - пространство элементарных событий как достоверное событие;

V - невозможное событие.

Иногда для удобства элементарные события будем обозначать E¬i, Qi.

Операции над событиями.

1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, ..., m.

2. Событие C произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B. Произведением произвольного числа событий называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1, ..., m.

3. Разностью событий A-B называется событие C, состоящее из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.

4. Событие называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.

Формулы де Моргана: и

5. События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.

События A и B называются несовместными, если они не имеют общих элементарных событий.

C=AB=V

Тут V - пустое множество.

Частость наступления события.

Пусть пространство элементарных событий конечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний рассматривают 2¬¬m событий - множество всех подмножеств пространства элементарных событий  и невозможное событие V.

Пример:

=(1, 2, 3)

A1=V

A2=(1)

A3=(2)

A4=(3)

A5=(1, 2)

A6=(2, 3)

A7=(1, 3)

A8=(1, 2, 3)

Обозначим систему этих событий через F. Берем произвольное событие AF. Проводим серию испытаний в количестве n. n - это количество испытаний, в каждом из которых произошло событие A.

Частостью наступления события A в n испытаниях называется число

Свойства частости.

1.

2. Частость достоверного события равна 1. n(U)=1.

3. Частость суммы попарно несовместных событий равна сумме частостей.

Рассмотрим систему Ai, i=1, ..., k; события попарно несовместны, т.е.

Событие

Пусть в результате некоторого испытания произошло событие A. По определению сумы это означает, что в этом испытании произошло некоторое событие Ai. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие Aj (ij) в этом испытании произойти не может. Следовательно:

nA=nA1+nA2+...+nAk

Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: Для любого события A частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события A.

Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной (достаточно длинной) серии испытаний.

К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних логических несоответствий.

Теория вероятности как наука была построена на аксиоматике Колмогорова.

Аксиоматика теории вероятности.

Построение вероятностного пространства.

Последовательно строим вероятностное пространство.

Этап 1:

Имеется испытание. В результате проведения испытания может наблюдаться одно событие из серии событий . Все события из системы  называются наблюдаемыми. Введем предположение, что если события A  , B   наблюдаемы, то наблюдаемы и события .

Система событий F называется полем событий или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, B  F выполняется:

1) Дополнения

2) (A+B)  F, (AB)  F

3) все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре

4) все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре

5) все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре.

Таким образом, систему  мы расширяем до алгебры или поля F путем включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. Т.е. считаем, что в результате проведения испытания наблюдаемая система является полем или алгеброй.

Множество всех подмножеств конечного числа событий является наблюдаемой системой - алгеброй, полем.

Этап 2:

Каждому событию A  F ставим в соответствие число P(A), которое называется вероятностью наступления события A. Такая операция задает вероятностную меру.

Вероятностная мера - числовая скалярная функция, аргументами которой являются элементы из системы алгебры F. Введенная вероятностная мера удовлетворяет системе из трех аксиом.

1.

2. P(U)=1.

3. Рассмотрим конечную или бесконечную систему попарно несовместных событий, каждое из которых принадлежит алгебре F.

. Если , то .

Алгебра событий называется  - алгеброй, если эта система событий содержит в себе все конечные суммы и произведения из алгебры F и их дополнения, а также все бесконечные суммы и произведения из алгебры и их дополнения.

Пример: В пространстве R1 зададим в качестве поля событий все конечные интервалы вида axb, ba.

Распространение этой алгебры на  - алгебру приводит к понятию борелевской алгебры, элементы которой называются борелевскими множествами. Борелевская алгебра получается не только расширением поля вида axb, но и расширением полей вида axb, axb.

Над наблюдаемым полем событий F задается счетно-аддитивная мера - числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F, т.е. события. Она удовлетворяет следующим трем условиям-аксиомам теории вероятности.

1. . P(A) - число, принадлежащее сегменту [0, 1] и называющееся вероятностью наступления события A.

2. P(A)  [0, 1] P(U)=1.

3. Пусть