Исследование сопротивления вертикальным нагрузкам бипирамидальных свай

с 0 0

r

с N

Рв

(с,0) r B(z,r)

Z

Рис. 2.7. Схема обозначений в формуле Миндлина для сосредоточен-ной силы Рв, приложенной внутри упругого полупространства

(2.1)

где

(2.2)

(2.3)

G - модуль сдвига грунта;

E - модуль деформации грунта;

v - коэффициент Пуассона грунта.

KW - вертикальное перемещение точки В при действии вертикальной силы Рв=1 в точке (0,с).

Применение решения Миндлина к задаче о сопротивлении фундамента вертикальной нагрузке состоит в том, что точка приложения силы и точка наблюдения, в которой возникают вертикальные перемещения находятся на боковой поверхности или на нижнем конце. В связи с этим в формуле (2.1) выражения для R1 и R2 принимают вид:

(2.4)

(2.5)

где

(2.6)

r - горизонтальная компонента расстояния от оси Z до точки B;

arc - горизонтальная компонента расстояния от оси Z до точки ;

r1 - горизонтальная компонента расстояния от точки В (точки наблю-дения) до точки  (источник, место приложения силы);

R2 - расстояние от точки ' (фиктивный источник) до точки B;

R1 - расстояние от точки  (источник) до точки B.

(с,arc)

 B(z,r)



Рис. 2.8. Схема к определению координат точки приложения (с,arc) и точки наблюдения B(z,r)

При определении коэффициентов влияния глобальной матрицы К учи-тываются различные варианты расположения источников (сил) и точек на-блюдения.

dc

• i

Рис. 2.9. Схема к интегрированию решения Миндлина

(матрица KSS)

- источники расположены на боковой поверхности фундамента и точки наблюдения так же находятся на боковой поверхности. Для наглядности рас-смотрим фундамент в вытрамбованном котловане (см. рис. 2.1) боковая по-верхность которого разбита на j элементов (j=1,NE1) и имеются точки на-блюдения i, находящиеся посредине граничных элементов. При вычислении коэффициента влияния входящего в матрицу [KSS]ij осуществляется интег-рирование решения Миндлина по окружности находящейся на глубине с и радиусом arc и интегрирования полученных значений решения по высоте j-го элемента. Таким образом элементы подматрицы [KSS]ij определяются

(2.7)

где (2.8)

• i

j

•

Рис. 2.10. Схема к интегрированию решения Миндлина

(матрица KBS)

- источники находятся на нижнем конце фундамента, а точки наблю-дения на боковой поверхности. Количество элементов на нижнем конце j (1,NE2), а количество точек на боковой поверхности i=1,NE1. Интегрирова-ние решения Миндлина выполняется по граничных элементам нижнего кон-ца, представленных в виде кольца (рис. 2.10). При этом формируются коэф-фициенты подматрицы [KBS]ij

(2.9)

где (2.10)

r - горизонтальная компонента расстояния от оси Z до точки В;

eps - горизонтальное расстояние от оси Z до точки источника ;

d - ширина граничного элемента j нижнего конца фундамента (шири-на кольца).

i

• •

Рис. 2.11. Схема к интегрированию решения Миндлина

(матрица KSB)

Если источники находятся на боковой поверхности фундамента, а точ-ки наблюдения на нижнем конце. здесь формируются коэффициенты под-матрицы [KSB]ij, i=1,NE2 j=1,NE1, которые учитывают влияние загружения боковой поверхности фундамента на перемещение элементов нижнего конца

(2.11)

где (2.12)

j (элемент j)

i (точка наблюдения i)

• •

Рис. 2.12. Схема к интегрированию решения Миндлина

матрицы (КВВ)

Последний вариант взаимодействия частей фундамента, когда источ-ники находятся на нижнем конце фундамента, а точка наблюдения так же находится на нижнем конце фундамента.

Для вычисления коэффициентов влияния загружения элементов ниж-него конца (j=1,NE2) на точки наблюдения, находящиеся посередине эле-ментов нижнего конца, вычисляется двойной интервал

(2.13)

где

Если учитываются вертикальные перемещения грунта примыкающего к поверхности фундамента, только от действия вертикальных сил, прило-женных на боковой поверхности (KSS, KSB) и на нижнем конце (KBS, KBB), то глобальная матрица К имеет вид

(2.14)

Система алгебраических уравнений для определения неизвестных на-пряжений на боковой поверхности и под нижним концом записывается сле-дующим образом

(2.15)

где fsb - неизвестные напряжения на поверхности фундамента;

wed - вектор-столбец единичных перемещений узлов поверхно-сти фундамента. В случае, если принять сваю абсолютно жесткой (т. е. не-сжимаемой), то перемещения всех узлов будут одинаковыми. В данной рабо-те компоненты вектора-столбца wed принимались равными осадке фунда-мента при которой график зависимости "нагрузки-осадки" имеет прямоли-нейный вид. Как показывает анализ опытных данных для призматических свай такая осадка равна 0,01 м, для пирамидальных и фундаментов в вы-трамбованном котловане - 0,015..0,020 м.

Если учитывать, что на боковую поверхность фундамента действуют радиальные напряжения 2, то глобальная матрица [K] будет содержать де-вять подматриц и уравнение равновесия (2.15) примет вид:

(2.16)

где KRS - матрица, которая содержит коэффициенты влияния на вер-тикальные перемещения узлов боковой поверхности фундамента, при загру-жении элементов боковой поверхности радиальными напряжениями 2 (sigm2);

KSU - матрица, коэффициенты которой отражают связь между горизонтальными перемещениями узлов боковой поверхности фундамента, когда боковая поверхность загружена вертикальными напряжениями;

KRU - матрица содержащая коэффициенты влияния, которые от-ражают зависимость между горизонтальными перемещениями узлов боковой поверхности фундамента при загружении элементов боковой поверхности горизонтального напряжения 2;

KBU - матрица, коэффициенты которой отражают зависимость горизонтальных перемещений узлов боковой поверхности фундамента при загружении элементов нижнего конца вертикальными напряжениями 1;

KRB - матрица, коэффициенты которой отражают связь между вертикальными перемещениями узлов нижнего конца фундамента при за-гружении элементов боковой поверхности радиальными напряжениями 2.

{fsb} - вектор-столбец, содержащий неизвестные: касательные напряжения на боковой поверхности фундамента , горизонтальные напря-жения на боковой поверхности фундамента 2 и вертикальные напряжения на нижнем конце фундамента 1;

- вектор-столбец, содержащий заданные верти-кальные перемещения узлов боковой поверхности фундамента ed1; горизон-тальные перемещения узлов боковой поверхности ed2 (если свая не сжима-ется ed2=0); вертикальные перемещения узлов нижнего конца фундамента ed3.

Фундаментальное решение Миндлина в матрицах KRS и KRB имеет следующее выражение:

(2.17)

где

(2.19)

(2.20)

x = rcos - arc; (2.21)

y = -rsin. (2.22)

Коэффициенты матрицы KRS вычисляются с использованием фунда-ментального решения Миндлина KW3 и интегрирования выражения

(2.23)

где r = arz. (2.24)

Коэффициенты матрицы KRB вычисляются с использованием фунда-ментального решения Миндлина KW3 и интегрирования выражения

(2.25)

где (2.26)

При вычислении коэффициентов матриц KSU и KBU используется ре-шение Миндлина

(2.27)

где R1, R2, r1 - определяются по формулам (2.4), (2.5), (2.6).

Коэффициенты матрицы KSU вычисляются интегрированием выраже-ния

(2.28)

где (2.29)

Коэффициенты матрицы KBU равны интегралу

(2.30)

где (2.31)

Фундаментальное решение Миндлина в матрице KRU определяется формулой

(2.32)

где R1, R2, x, y - определяются по формулам (2.19), (2.20), (2.21