конца)
Реакции получили со знаком плюс, значит первоначальное направление выбрано верно. Если бы получили одну (или обе) реакцию со знаком минус, то ее (их) следовало бы направить в противоположную сторону.
Проверка:
Следовательно, реакции определены верно и можно приступать и построению эпюр.
Для их построения рассмотрим каждый участок балки и, используя метод сечений (см. пример 3, 4), запишем выражения для Q и М с учетом принятого правила знаков.
Участок 3-1;
Q = -2qx – уравнение наклонной прямой;
- уравнение квадратной параболы;
при
(средняя ордината эл. М)
В масштабе строим эпюры Q и М на участке 3-1 (рис. 5.2, б, 5.2, в). На этом участке эпюра Q знак не меняют, поэтому на эпюре М экстремального значения не будет и ее можно приближенно провести по двум точкам ( Эпюру М принято строить на сжатых волокнах для студентов машиностроительных и технологических специальностей (т.е. отрицательные значения откладываются вниз, положительные – вверх); для студентов строительных специальностей ее принято строить на растянутых волокнах балки (т.е. отрицательные значения откладывается вверх, положительные – вниз (рис. 5.2,г).
Участок 1-4: при
Строим эпюры Q и М на участке 1-4 в выбранном масштабе. На этом участке эпюра Q проходит через нуль, меняя знак, следовательно на эпюре М в этом сечении будет экстремальное значение. Найдем его, приравняв Q на участке 1-4 к нулю (рис. 5.2, г):
Можно продолжать рассмотрение участков балки слева, но расчеты при этом усложняются (в уравнение для Q и М входит много слагаемых). Поэтому далее будем строить эпюры Q и М, рассматривая участки белки справа.
Участок 5-2;
По этим значениям строим эпюры Q и М на участке 5-2.
Участок 2-4;
По этим значениям строим эпюры Q и М на участке 2-4.
2.Опасным будет сечением, где
Из рассмотрения рис. 5.2, в,г видно, что
Запишем условие прочности:
а) для студентов всех специальностей, кроме строительных
По таблице сортимента выбираем двутавр №16, для которого
б) для студентов строительных специальностей:
По таблице сортимента выбираем двутавр №14, для которого
3. Найдем прогиб сечения 3, используя способ перемножения эпюр.
Для этого в направлении предполагаемого перемещения прикладываем единичную силу (рис. 5.2, д). Определяем опорные реакции и стороны единичную эпюру изгибающих моментов
Запишем выражения для изгибающих моментов на участках балки.
Участок 3-1;
Участок 2-1;
По полученным значениям строим эпюру (рис.5.2, е).
Перемножим по формуле Симпсона эпюру М (Мz) на эпюру и найдем искомый прогиб сечения 3:
Знак «минус» показывает, что прогиб сеч. 3 направлен не вниз (как была направлена сила ), а вверх.
Найдем угол поворота сечения 2, используя способ перемножения эпюр. Для этого прикладываем в сечении 2 в предполагаемом направлении его поворота единичную пару сил (рис.5.2, ж.), определяем опорные реакции и строим единичную эпюру изгибающихся моментов (рис. 5.1, з)
Построенная эпюра изображена на рис. 5.2, з. Перемножим по формуле Симпсона эпюру на эпюру М (Мz) и найдем искомый угол поворота сеч. 2:
ПРИМЕР 6 (для студентов строительных специальностей)
Для изображенной на рис. 6.1 схемы рамы (материал-сталь) требуется:
1) построить эпюры изгибающих моментов М (Мz), поперечных сил Q (Qy) и придельных сил N (Nx) двумя путями:
а) записав в общем виде для каждого участка выражения М, Q, N.
б) построив эпюры М (аналогично п.а. или по значениям М в характерных сечениях), а затем по дифференциальным зависимостям и уравнениям равновесия эпюры Q и N;
2) установить опасное сечение, записать условие прочности и определить
величину безопасности нагрузки;
3) определить горизонтальный прогиб сечения 5 и угол поворота сечения
3 рамы.
Исходные данные:
При выполнении числовых расчетов принять:
1. Размеры поперечного сечения стержня подбираем из условия его устойчивости в плоскости наименьшей жесткости:
Найдем геометрические характеристики, выразив их через «а»:
Гибкость стержня в плоскости его наименьшей жесткости:
где коэффициент приведения длины (v)M=0,7 при заданных условиях закрепления его концов (рис. 9.1).
Первое приближение: принимаем
Тогда:
Далее найдем:
Из таблицы коэффициентов (имеются в справочниках и пособиях по сопротивлению материалов) по интерполяции находим табличные значения составляющие =102 для стали 3:
при
тогда:
Поскольку (относительная разница между ними составляет:
что больше 5%), то расчет повторяем во втором приближении.
Второе приближение: принимаем
Далее расчет повторяем
Из таблицы:
Окончательно принимаем следующие размеры сечения:
Проверим устойчивость стержня:
2. Поскольку то критическую силу определяем по формуле Эйлера (если то критическая сила определяется по формуле Ясинского:
Найдем коэффициент запаса устойчивости:
ПРИМЕР 10
Для заданной рамы (рис.10.1) требуется:
1) установить степень статической неопределимости;
2) выбрать основную систему и составить канонические уравнения метода сил;
3) построить эпюры изгибающихся моментов от внешней нагрузки и единичных сил;
4) вычислить все перемещения, входящие в канонические уравнения;
5) найти величины лишних неизвестных;
6) построить окончательные эпюры N, Q и М;
7) провести деформационную проверку;
8) подобрать размеры поперечных сечений всех элементов рамы, приняв , поперечное сечение ригеля в форме двутавра, стойки – кольца с соотношением d/D=0,8.
Исходные данные:
РЕШЕНИЕ
По исходным данным строим расчетную схему (рис. 10.2,а).
1. Устанавливаем степень статистической неопределенности системы:
n=x-y=6-4=2,
где:
x=G-число неизвестных реактивных факторов
( по рис. 10.2,а.);
y=4 – число применимых уравнений равновесия
( - дополнительное уравнение, т.к. в шарнире момент равен нулю по рис. 10.2, а.)
Рассматриваемая рама два раза статистически неопределима.
2. Выбираем основную систему. Наиболее удобный вариант разрезать ригель по шарниру (рис. 10.2, б.). Приложив к основной системе по направлению отброшенных связей усилия и заданную нагрузку, получим эквивалентную систему (рис.10.2, в.). Запишем канонические уравнения метода сил для этой статически неопределимой системы:
3. Построим эпюры изгибающих моментов для принятой основной системы:
а) построение эпюры (рис. 10.2, д.) от силы (рис.10.2, г.)-первое единичное состояние.
Так как основная система и нагрузка ( ) симметричны, то эпюра будет симметричной. Поэтому ординаты изгибающих моментов достаточно определить только для элементов одной части рамы (правой или левой) и симметричную отложить их значения на другой.
Вычисляем изгибающие моменты для левой части рамы.
Определяем опорные реакции из уравнения статики:
Построим эпюру :
Участок ШЕ
=0.
Участок ЕА
при
Участок ВА
Построим эпюру на участке ШК, КД, СД аналогично.
По полученным значениям строим эпюру , откладывая ординаты в крайних точках участков со стороны сжатых волокон;
б) построение эпюры (рис.10.2, ж.) от силы (рис. 10.2, е.). Так как основная система симметричная, а нагрузка ( ) – несимметрична, то эпюра также будет несимметричной.
Определяем опорные реакции из уравнений статики.
Построим эпюру :
Участок ШЕ
Участок ЕА
при