←предыдущая следующая→
1 2 3
Измерение случайных процессов
Реферат на тему : Измерение случайных процессов.
Содержание
1. Общие сведения об измерениях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 3.
2. Измерения математического ожидания и дисперсии случайного процесса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 9.
3. Измерение функций распределения вероятности. . . . стр 11.
4. Измерения корреляционной функции. . . . . . . . . . . . . . стр 13.
5. Анализ спектра мощности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 14.
6. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 16.
7. Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 17.
ИЗМЕРЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Измерения вероятностных характеристик случайных процес¬сов (статистические измерения) составляют один из наиболее быстро развивающихся разделов измерительной техники. В на¬стоящее время область распространения статистических методов исследования и обработки сигналов измерительной информации практически безгранична. Связь, навигация, управление, диагно¬стика (техническая, медицинская), исследование среды и многие другие области немыслимы без знания и использования свойств сигналов и помех, описываемых их вероятностными характери¬стиками.
Потребность в изучении свойств случайных процессов приве¬ла к развитию соответствующих методов и средств (преимуще¬ственно электрических). Появление анализаторов функций рас¬пределения вероятностей, коррелометров, измерителей математи¬ческого ожидания, дисперсиометров и других видов измерителей вероятностных характеристик открыло новые возможности в об¬ласти создания современной информационной и управляющей техники.
Рассмотрим необходимые исходные определения и общие сведения о статистических измерениях.
В теории статистических измерений используют следующие понятия и их аналоги, заимствованные из теории случайных функций (аналоги из математической статистики): реализация случайного процесса (выборочная функция), мгновенное значе¬ние (выборочное значение), совокупность мгновенных значений (выборка), вероятностная характеристика (предел выборочного среднего).
Введем следующие обозначения: Х (t) — случайный процесс;
i-порядковый номер реализации случайного процесса Х (t);
xi(tj) —мгновенное значение процесса Х (t), соответствующее значению (i-й реализации в j-й момент времени. Случайным назы¬вают процесс Х (t), мгновенные значения которого xi (tj) суть случайные величины.
На рис.1 представлена в качестве примера совокупность реализации случайного процесса, воспроизводящих зависимости некоторого параметра Х от времени t.
В теории случайных процессов их полное описание произво¬дится с помощью систем вероятностных характеристик: многомерных функций распределения вероятности, моментных функ¬ций, характеристических функций и т. п. В теории статистиче¬ских измерений исследуемый случайный процесс представляется своими реализациями, причем полное представление осуществля¬ется с помощью так называемого ансамбля, т. е. бесконечной совокупностью реализаций. Ансамбль — математическая аб¬стракция, модель рассматриваемого процесса, но конкретные реализации, используемые в измерительном эксперименте, пред¬ставляют собой физические объекты или явления и входят в ан¬самбль как его неотъемлемая часть.
Если случайный процесс представлен ансамблем реализации xi (t), i=1, 2, ..., со, то вероятностная характеристика в может быть определена усреднением по совокупности, т.е.
N
[X (t)]=lim 1/N g[xi(t)], (1)
N i =1
где g [Xi (t)]— некоторое преобразование, лежащее в основе оп¬ределения вероятностной характеристики . Так, например, при определении дисперсии g [Xi (t)]= xi (t). При этом полагаем, что процесс характеризуется нулевым математическим ожиданием.
Вместо усреднения по совокупности может быть использовано усреднение по времени с использованием k-й реализации xk (t) и тогда
T
[X(t)]= lim 1/T g[xi(t)]dt. (2)
T
Например, при определении математического ожидания
T
M [X (t)]= lim 1/T xk (t) dt. (3)
T 0
В общем случае результаты усреднения по совокупности (1) и по времени (2) неодинаковы. Предел выборочного среднего по совокупности (1) представляет собой вероятност¬ную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от текущего времени. Предел выборочного среднего по времени (2) представляет собой вероятностную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от номера реализации.
Наличие и отсутствие зависимости вероятностных характери¬стик от времени или от номера реализации определяет такие фундаментальные свойства процесса, как стационарность и эрго¬дичность. Стационарным, называется процесс, вероятностные ха¬рактеристики которого не зависят от времени; соответственно эргодическим называется процесс, вероятностные характеристи¬ки которого не зависят от номера реализации.
Следовательно, стационарный неэргодический случайный процесс — это такой процесс, у которого эквивалентны времен¬ные сечения (вероятностные характеристики не зависят от теку¬щего времени), но не эквивалентны реализации (вероятностные характеристики зависят от номера реализации). Нестационар¬ный эргодический процесс — это процесс, у которого эквивалент¬ны реализации (вероятностные характеристики не зависят от номера реализации), но не эквивалентны временные сечения (вероятностные характеристики зависят от текущего времени). Классифицируя случайные процессы на основе этих призна¬ков (стационарность и эргодичность), получаем следующие четы¬ре класса процессов: стационарные эргодические, стационарные неэргодические, нестационарные эргодические, нестационарные неэргодические.
Учет и использование описанных свойств случайных процес¬сов играет большую роль при планировании эксперимента по определению их вероятностных характеристик.
Поскольку измерение представляет собой процедуру нахож¬дения величины опытным путем с помощью специальных техни¬ческих средств, реализующих алгоритм, включающий в себя операцию сравнения с известной величиной, в статических изме¬рениях должна применяться мера, воспроизводящая известную величину.
Типовые алгоритмы измерений вероятностных характеристик случайных процессов, различающиеся способом применения ме¬ры в процессе измерений, представляются в следующем виде:
* [X (t)]= KSdg [X (t)]; (4)
* [X (t)]= Sd Kg [X (t)]; (5)
* [X (t)]= Sd gK [X (t)]; (6)
где Sd—оператор усреднения; К—оператор сравнения;
* [X (t)]—результат измерения характеристики [X (t)].
Данные алгоритмы различаются порядком выполнения опе¬раций. Операция сравнения с образцовой мерой (К) может быть заключительной [см. (4)], выполняться после реализации оператора g, но до усреднения [см. (5)] и, наконец, быть началь¬ной [см. (6)]. Соответствующие обобщенные структурные схе¬мы средств измерений значений вероятностных характеристик представлены на рис. 2.
На этих рисунках для обозначения блоков, реализующих операторы, входящие в выражения (4) — (6), используют¬ся те же обозначения. Так, g — устройство, выполняющее пре¬образование, лежащее в основе определения вероятностной ха¬рактеристики ; Sd — устройство усреднения (сумматор или ин¬тегратор); К— компаратор (сравнивающее устройство), а М—мера, с помощью которой формируется известная величина (., g., x.)
Представленное на рис. 2, а средство измерений реализует следующую процедуру: на вход поступает совокупность реализа¬ций {xi (t)} (при использовании усреднения по времени — одна реализация xi, (t)-, на выходе узла g имеем совокупность преоб¬разованных реализации {g[xi (t)]}; после усреднения получаем величину Sd {g[xi (t)]}, которая поступает на компаратор, осуще¬ствляющий сравнение
←предыдущая следующая→
1 2 3
|
|