сравнение с известной величиной о, в результате чего получаем значение измеряемой вероятностной характеристики *[X(t)].
Отличие процедуры, реализуемой средством измерений, пред¬ставленным на рис. 2, б, заключается в том, что после формиро¬вания совокупности {g [xi (t)]} она поступает не на усреднитель, а на компаратор, который выполняет сравнение с известной вели¬чиной go; на выходе компаратора формируется числовой массив {g* [xi (ti)]} и усреднение выполняется в числовой форме. На выхо¬де усреднителя Sd имеем результат измерения * [X (t)].
Средство измерений (рис. 2, в) основано на формировании массива числовых эквивалентов мгновенных значений реализа¬ции случайного процесса Х (t), после чего преобразование g и ус¬реднение выполняются в числовой форме. Это устройство эквива¬лентно последовательному соединению аналого-цифрового пре¬образователя (АЦП) и вычислительного устройства (процессо¬ра). На выходе АЦП формируется массив мгновенных значений, а процессор по определенной программе обеспечивает реализа¬цию операторов g и Sd,
Погрешность результата измерения вероятностной характе¬ристики случайного процесса
* [X(t)]=*[X(t)]- [ X(t)]. (7)
Для статистических измерений характерно обязательное на¬личие составляющей методической погрешности, обусловленной конечностью объема выборочных данных о мгновенных значени¬ях реализации случайного процесса, ибо при проведении физиче¬ского эксперимента принципиально не может быть использован бесконечный ансамбль реализации или бесконечный временной интервал. Соотношение (7) определяет результирующую по¬грешность, включающую в себя как методическую, так и инстру¬ментальную составляющие. В дальнейшем будут приводиться соотношения только для определения специфической для стати¬стических измерений методической погрешности, обусловленной конечностью числа реализации и временного интервала.
2. ИЗМЕРЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ИДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Математическое ожидание и дисперсия случайного процес¬са — основные числовые вероятностные характеристики, измере¬ние которых играет большую роль в практике научных исследова¬ний, управления технологическими процессами и испытаний.
При измерении математического ожидания результатом из¬мерения является среднее по времени или по совокупности мгно¬венных значений реализации исследуемого случайного процесса. Усреднение по времени применяется на практике существенно чаще, чем усреднение по совокупности, поскольку работать с од¬ной реализацией удобнее и проще, чем с совокупностью. На рис. 3 приведена структурная схема устройства, реали¬зующего алгоритм
t
M* [X (t)]= 1/T xk (t) dt.
t-T
На рисунке Д—преобразователь измеряемой величины в электрический сигнал (датчик); НП — нормирующий преобра¬зователь, превращающий входной сигнал в стандартный по виду и диапазону значений; И — интегратор; УС — устройство сопря¬жения, обеспечивающее согласование выхода интегратора со входами цифрового вольтметра и регистрирующего прибора;
ЦИП — цифровой прибор (например, цифровой вольтметр);
РП—регистрирующий прибор (самопишущий прибор).
Для оценки среднего квадратичeского значения погрешности, обусловленной конечностью объема выборочных данных,
можно пользоваться следующими соотношениями:
1/2
=[2D[X(t)] k/T]
M
при усреднении по времени T и
1/2
=[D[X(t)]/N]
M
при усреднении по совокупности N. Здесь D[X (t)]—дисперсия процесса X(t), а k — интервал корреляции. Дисперсия случайного процесса характеризует математиче¬ское ожидание квадрата отклонений мгновенных значений реали¬зации случайного процесса от математического ожидания. Таким образом,
T 2
D[X(t)]= lim 1/T [xk (t)-[X(t)]] dt
T 0
или
N 2
D[X(t)]= lim 1/N [xi(t)-[X(t)]] dt
N i=1
Возможны различные варианты построения устройств для измерения дисперсии случайного процесса — дисперсиометров. На рис. 4 приведена структурная схема средства измерений дисперсии случайного процесса, т. е. работающего согласно вы¬ражению
t t 2
D* [X(t)]=1/T [xk (t)- 1/T1 xk (t)dt] dt
t-T t-T1
На рисунке НП — нормирующий преобразователь; И1 и И2 — интеграторы; ВУ— вычитающее устройство; КУ— квадратирующее устройство; УС — устройство сопряжения; ЦИП — цифро¬вой прибор; РП — регистрирующий прибор.
Средняя квадратическая погрешность из-за конечности объема выборочных данных о мгновенных значениях Х (t) может быть определена с помощью соотношений
2 1/2
=[2D[X (t)] k/T]
M
, где D[X2 (t)]— дисперсия Х (t); T—время усред¬нения.
При усреднении по совокупности N реализаций
2 1/2
=[D[X (t)] /N]
D
3. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Одномерная интегральная функция распределения вероятно¬сти F (X) равна вероятности того, что мгновенное значение про¬извольной реализации в произвольный момент времени меньше установленного уровня, т. е. Xi (ti) X. Функция F (X) определя¬ется как предел выборочного среднего:
F (X)= lim Sd [ [x (t) ,X]],
d
1 при x (t) X
Где [x(t) ,X]=
0 при x (t) > X
Поскольку интегральные F (X) и дифференциальные w (X) функции распределения вероятности связаны между собой со¬отношениями
X
w (X) =(dF (X))/dX ; F (X)= w (X) dX
-
справедливо выражение
w (X) = lim ((F(X+X)-F (X))/X)= lim ((Sd [[x(t) ,X]])/X)
X X
1 при X < x (t) X+X
где [x(t) ,X]=
0 при x (t) X, x (t) > X+X
В качестве примера рассмотрим средство измерений для определения интегральной функции распределения вероятности уровня электрического сигнала. Схема средства измерений, реа¬лизующего алгоритм
t
F* (X)=1/T [xk(t) ,X]dt ,
t-T
показана на рис. 5, где ПУ — пороговое устройство, формиру¬ющее сигнал X k (t}—X; ФУ—формирующее устройство; И—интегратор, на выходе которого получается сигнал F* (X) при установленных значениях Х и Т; УС — устройство сопряжения;
ЦИП — цифровой прибор; РП — регистрирующий прибор.
Средняя квадратическая погрешность из-за конечности объема выборки определяется для F {X) с помощью соотношения
2 1/2
=[2(F - F ) k/T]
F
при усреднении по времени и с помощью соотношения
2 1/2
=[2(F - F )/N]
F
при усреднении по совокупно¬сти. Для (X) соответствующие соотношения имеют вид:
2 1/2
=[2(w - w X) k/T]
w
2 1/2
и =[(w - w X)/N]
w
В приведенных соотношениях F и w — истинные значения измеряемых функ¬ций при данном X.
4. ИЗМЕРЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
Для случайного процесса с нулевым математическим ожида¬нием корреляционная функция равна:
Rx (s,) = lim Sd[xi (t) xi-s (t-)],
d
где и s — соответственно сдвиг во времени и в пространстве реализации перемножаемых мгновенных значений.
В практических задачах большую роль играют стационарные случайные процессы, т. е. процессы с постоянными вероятностны¬ми характеристиками, не зависящими