Экономико-математическое моделирование /
←предыдущая следующая→
1 2
Введение.
Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседнев¬ной практике, являются многовариантными. Среди множе¬ства возможных вариантов в условиях рыночных отно¬шений приходится отыскивать наилучшие в некотором смысле при ограничениях, налагаемых на природные, эко¬номические и технологические возможности. В связи с этим возникла необхо¬димость применять для анализа и синтеза экономических ситуаций и систем математические методы и современную вычислительную технику? Такие методы объединяются под общим названием — математическое программирование.
Математическое программирование — область мате¬матики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограниче¬ниями, т. е. задач на экстремум функции многих пере¬менных с ограничениями на область изменения этих переменных.
Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием опти¬мальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет матема¬тическую модель. Математическая модель задачи — это отражение ори¬гинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. д. Модель задачи математического программирования включает:
1) совокупность неизвестных величин, действуя на которые, систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.);
2) целевую функцию (функцию цели, показатель эф¬фективности, критерий оптимальности, функционал зада¬чи и др.). Целевая функция позволяет выбирать наилуч¬ший вариант -из множества возможных. Наилучший ва¬риант доставляет целевой функции экстремальное значе¬ние. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень об¬служивания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. д.;
Эти условия следуют из огра¬ниченности ресурсов, которыми располагает общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы. Таковыми могут быть возможности технического, техноло¬гического и вообще научного потенциала. Нередко по¬требности превышают возможности их удовлетворения. Математически ограничения выражаются в виде уравне¬ний и неравенств. Их совокупность образует область до¬пустимых решений (область экономических возможно¬стей). План, удовлетворяющий системе ограничений зада¬чи, называется допустимым. Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, на¬зывается оптимальным. Оптимальное решение, вообще говоря, не обяза¬тельно единственно, возможны случаи, когда оно не су¬ществует, имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений.
Один из разделов математического программирования - линейным программированием. Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации процессов во всех отраслях народного хозяйства: при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполните¬лям, при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспек¬тивного, текущего и оперативного планирования и управ¬ления; при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах раз¬вития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т. д. Особенно широкое применение методы и модели линейного програм¬мирования получили при решении задач экономии ресур¬сов (выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов), производственно-транспорт¬ных и других задач.
Начало линейному программированию было положено в 1939 г. советским математиком-экономистом Л. В. Кан¬торовичем в работе «Математические методы организации и планирования производства». Появление этой работы открыло новый этап в применении математики в эконо¬мике. Спустя десять лет американский математик Дж. Данциг разработал эффективный метод решения данного класса задач — симплекс-метод. Общая идея симплексного метода (ме¬тода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП состоит в следующем:
1) умение находить начальный опорный план;
2) наличие признака оптимальности опорного пла¬на;
3) умение переходить к нехудшему опорному плану.
§1.Задача линейного программирования и свойства ее решений.
1.1 Понятие линейного программирования. Линейное про¬граммирование—раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополни¬тельных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на уни¬версальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного про¬граммирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.
Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с на¬хождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.
Формы записи задачи линейного программирования:
Общей задачей линейного программирования называют задачу
(1)
при ограничениях
(2)
(3)
(4)
(5)
- произвольные (6)
где - заданные действительные числа; (1) – целевая функция; (1) – (6) –ограничения;
- план задачи.
1.2 Свойства решений.
Пусть ЗПЛ представлена в следующей записи:
(7)
(8)
(9)
Чтобы задача (7) – (8) имела решение, системе её ограничений (8) должна быть совместной. Это возможно, если r этой системы не больше числа неизвестных n. Случай r>n вообще невозможен. При r= n система имеет единственное решение, которое будет при оптимальным. В этом случае проблема выбора оптимального решения теряет смысл. Выясним структуру координат угловой точки много¬гранных решений. Пусть r5, ресурс считается более дефицитным, чем ресурс .
На основе теоремы (о дополняющей нежесткости) нетрудно объяснить, почему не вошла в опти¬мальный план продукция и : первое и второе ограничения двой¬ственной задачи выполняются как строгие неравенства: 4-15+2-5+0>65, 2-15+10*5>70.
Это означает, что оценки ресурсов, расходуемых на изготовление единицы продукции и , превышают оценки единицы этой продукции. Понятно, что такую продукцию выпу¬скать предприятию невыгодно. Что же касается продукции и , то выпуск ее оправдан, поскольку оценка израсходо¬ванных ресурсов совпадает с оценкой произведенной продукции: 2*15+ +6*5+2*0=60, 8*15+0=120.
Таким образом, в оптимальный план войдет только та продукция, которая выгодна предприятию, и не войдет убыточная продукция. В этом проявляется рентабельность оптимального плана.
Рассмотрим возможность дальней¬шего совершенствования оптимального ассортимента выпускаемой про¬дукции.
Выше установлено, что ресурсы и являются дефицитными. В связи с этим на основе теоремы (об оценках) можно утверждать, что на каждую единицу ресурса , введенную дополнительно в производ¬ство, будет получена дополнительная выручка , численно равная . В самом деле, при получаем . По тем же причинам каждая дополнительная единица ресурса обеспечит прирост выручки, равный 5 р. Теперь становится понятно, почему ресурс считается более дефицитным по сравнению с ресурсом : он может содействовать получению большей выручки.
Что же касается избыточного ресурса , то увеличение его запаса не приведет к росту выручки, поскольку . Из приве¬денных рассуждений следует, что оценки ресурсов позволяют совершен¬ствовать план выпуска продукции.
Выясним экономический смысл оценок продукции , , , .
По оптимальному плану выпускать следует продукцию и . Оценки и этих видов продукции равны нулю. Что это означает, практически станет ясно, если представить оцен¬ки в развернутой записи:
Таким образом, нулевая оценка показывает, что эта продукция является неубыточной, поскольку оценка ресурсов, расходуемых на вы¬пуск единицы такой продукции, совпадает с оценкой единицы изготовлен¬ной продукции.
Что же касается продукции и являющейся, как установлено выше, убыточной, а потому и не вошедшей в оптимальный план, то для ее оценок и получаем:
Отсюда видно, что оценка убыточной продукции показывает, насколько будет снижать каждая единица такой продукции достигнутый оптимальный уровень.
§8. Программа и расчеты.
{Программа составлена для решения задачи линейного программирования
симплексным методом}
uses crt;
const n=2;{число неизвестных исходной задачи}
m=3;{число ограничений}
m1=0;{последняя строка равенств}
m2=1;{последняя строка неравенств вида >=}
label 5,15,20,10;
var
←предыдущая следующая→
1 2
|
|