Задача квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений и ее применение при формировании портфеля ценных бумаг

Будем рассматривать следующую форму записи условий Куна-Таккера для задачи выпуклого программирования:

(3.2.1)

В нашем случае получим:

(3.2.2)

Здесь Ai- столбцы матрицы A длины m, Di столбцы матрицы D длины n, Lk - строки матрицы A длины n, ej - n-мерные столбцы единичной матрицы. Здесь и далее xi - компоненты оптимального вектора задачи x, k и k - множители Лагранжа условий Куна-Таккера. Запишем систему 3.2.2 в более обобщенной форме:

(3.2.3)

где составные столбцы P0, ... Pm+2n каждый длиной m+n являются столбцами блочной матрицы P, имеющей следующий вид:

(3.2.4)

В таком виде условия Куна-Таккера (3.2.3) можно записать в еще более простом виде:

(3.2.5)

Поскольку рассматриваемая нами задача является задачей выпуклого программирования, указанные условия существования минимума являются одновременно необходимыми и достаточными. Доказательство указанных условий можно найти в [1,2].

3.3. Базис задачи квадратичного программирования. Оптимальный и невырожденный базисы.

Поскольку ранг матрицы A равен m (см 3.1), система векторов

являются линейно независимой системой векторов. В то же время, легко видно, что линейная оболочка, натянутая на систему векторов P совпадает с пространством Em+n, т.е L(P)=En+m.

Следовательно из системы векторов 3.2.4 можно образовать конечное число базисов N евклидова пространства En+m, содержащих в себе векторы P1, .. Pm. Такие базисы пространства En+m будем называть базисами задачи квадратичного программирования, и обозначать следующим образом:

(3.3.1)

Для упрощения схемы алгоритма, запишем базис (3.3.1) в следующем виде:

(3.3.2)

Здесь 1 и 2 - наборы индексов. В случае, если 1=2 будем считать базис U1,2 порожденным одним множеством индексов =1.

(3.3.3)

Коэффициенты разложения вектора b по базису U1,2 будем называть базисными переменными, остальные коэффициенты - небазисными переменными.

Базис U1,2 назовем оптимальным, если его базисные переменные удовлетворяют условиям Куна-Таккера (3.2.3).

Базис называется невырожденным, если все его базисные переменные, соответствующие компонентам вектора x отличны от нуля, т.е.

(3.3.4)

Задачу (3.1.2) будем называть невырожденной, если все ее базисы невырождены. В противном случае назовем задачу вырожденной.

3.4. Метод субоптимизации на многообразиях. Выпуклый случай.

Для решения задачи (3.1.2) предлагается использовать метод

субоптимизации на многообразиях. Вначале рассмотрим основные идеи, приводящие к методу субоптимизации в случае задачи выпуклого программирования общего вида.

Рассмотрим задачу выпуклого программирования с линейными ограничениями, состоящую в минимизации выпуклой функции f(x) на множестве L, задаваемом ограничениями типа равенств.

(3.4.1)

Предположим, что задача имеет единственное решение, т.е минимум целевой функции достигается в единственной оптимальной точке x*. В этом случае задаче (3.4.1) эквивалентна задача:

(3.4.2)

Эквивалентность этих двух задач является следствием единственности решения. Переход к задаче (3.4.2) называется выделением активных ограничений, т.е. вместо условия неотрицательности всех переменных, мы переходим к условию равенства нулю всех компонент, решения, индексы которых не принадлежат множеству (x*).

Предположим, что для задачи (3.4.2) нахождение оптимального решения существенно проще, чем для исходной задачи (3.4.1). В этом случае, перебирая каким-либо образом всевозможные множества индексов k, являющиеся подмножествами полного набора индексов {1,..n}, и решая для каждого из них задачу (3.4.2), используя k вместо *, определить искомое множество индексов *.

Предположим также, что задача (3.4.2) обладает свойством

единственности, т.е система векторов {L1, .. Lm, ej (j (x*)}- линейно независима. В случае нарушения свойства единственности задача поиска оптимального вектора задачи (3.4.2) усложняется, и в дальнейшем этот случай рассматриваться не будет.

Алгоритм перебора множеств индексов k основан на следующей лемме.

Основная лемма:

Пусть x* является оптимальной точкой задачи:

(3.4.3)

где X - линейное многообразие, определяемое следующим образом:

(3.4.4)

Предположим, что задача (3.4.3) с условием (3.4.4) обладает свойством единственности, и среди j, удовлетворяющих условиям Куна-Таккера существует отрицательное j0, т.е.

(3.4.5)

Пусть  ' - множество индексов, полученное из  вычитанием индекса j0:

(3.4.6)

Тогда, если x*' - оптимальный вектор задачи

(3.4.7)

то справедливо неравенство:

f(x*')