Экономико-математическое моделирование /
←предыдущая следующая→
1 2
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Томский государственный университет систем управления
и радиоэлектроники (ТУСУР)
Кафедра Экономики
Контрольная работа
по дисциплине “Математические модели в Экономике ”
Вариант №18
Выполнил:
Студент гр. з822
________ Васенин П.К.
Проверила:
________ Сидоренко М.Г.
г. Томск 2003
Задание №1
1. Объём выпуска продукции Y зависит от количества вложенного труда x как функция
. Цена продукции v, зарплата p. Другие издержки не учитываются. Найти оптимальное количество вложенного труда.
Решение:
Оптимальное количество вложенного труда обозначим через X*
Определим прибыль
Воспользуемся соотношением - т.е. частные производные приравняем к нулю, найдём оптимальное количество вложенного труда
Задание №2
2. Даны зависимости спроса D=200-2p и предложения S=100+3p от цены. Найдите равновесную
цену, цену при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.
Решение:
Равновесная цена находится путём приравиевания спроса и предложения, т.е. 200-2p=100+3p; p*=20 – равновесная цена.
Найдём прибыль при равновесной цене:
Найдём цену, определяющую максимум выручки:
При p*(200-2p) максимум достигается в точке p’=50 (определили через производную)
W (50)=50*(200-2*50)=5000
Таким образом, максимальная выручка W(p’)=5000 достигается не при равновесной цене.
Задание №3
3. Найти решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры) .
Решение:
1- способ. Проверим на наличие седловой точки. Седловая точка является одновременно наименьшим элементом строки и наибольшим элементом столбца. В матрице седловой точки нет.
Выигрыш первого есть случайная величина с рядом распределения:
Найдём средний выигрыш за партию Первого – это математическое ожидание случайной величины W(x,y):
Оптимальные стратегии игроков:
2 – способ. Если решить эту игру как матричные игры двух игроков с нулевой суммой, то для игры с матрицей оптимальные смешанные для 1 и 2 игроков и цена игры получаются из решения уравнений:
Откуда, Оптимальные стратегии игроков:
Задание №4
4. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции . Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул обращения невыраженных матриц и приближённо), заполнить схему межотраслевого баланса.
Решение:
I. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат приближённо, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.
Матрица косвенных затрат первого порядка:
Матрица косвенных затрат второго порядка:
Получаем матрицу коэффициентов полных материальных затрат (приближённо):
II. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невыраженных матриц:
a) Находим матрицу (E-A):
b) Вычисляем определитель этой матрицы:
c) Транспонируем матрицу (E-A):
d) Находим алгебраические дополнение для элемента матрицы (E-A)’:
Таким образом:
e) Находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:
Таким образом, расчёты первым и вторым способом получились разные – это произошло из-за того, что второй способ наиболее точен (рассчитан по точным формулам), а первый способ рассчитан приближённо, без учёта косвенных затрат выше второго порядка.
Для заполнения межотраслевого баланса необходимо найти величину валовой продукции:
Схема межотраслевого баланса
Производящие
отрасли Потребляющие отрасли
1 2 3 Конечная продукция Валовая продукция
1
2
3 2574,67
1839,05
0 464,32
232,16
232,16 0
0
3328,64 640
250
600 3678,1
2321,6
4160,8
Условно чистая продукция
-735,62
1392,96
832,16
1490
Валовая продукция 3678,1 2321,6 4160,8 10160,5
Задание №5
5. Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящеё средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания (а=0,1), представить результаты графически, определить для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага вперёд.
Решение:
a) Проверим ряд на наличие выбросов методом Ирвина. Метод Ирвина Служит для выявления аномальных уровней, т.е. – это отдельное значение временного ряда которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве значения уровня ряда, оказывает существенное влияние на значение основных характеристик временного ряда, и на трендовую модель.
Для выявления аномальных уровней воспользуемся формулой:
Расчётные значения:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
- 1,06 0,53 1,06 0,53 0,53 0,53 0,53 1,06 0,53
Необходимо, расчётные значения сравнить с табличными критерия Ирвина , и если окажется, что расчётное больше табличного, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.
Табличные значения для уровня значимости a=0,05, т.е. с 5% ошибкой:
n 2 3 10 20 30 50 100
2,8 2,3 1,5 1,3 1,2 1,1 1
Таким образом, при сравнении значений, обнаруживаем, что аномальных уровней нет, т.е. .
b) Сгладим методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания m=3:
t
Метод простой скользящей средней,
1 53 --
2 51 --
3 52 52
4 54 52,3
5 55 53,6
6 56 55
7 55 55,3
8 54 55
9 56 55
10 57 55,6
c) Сгладим экспоненциальным методом с а=0,1 – параметр сглаживания:
t
Экспоненциальный метод,
1 53 52,1
2 51 51,99
3 52 51,99
4 54 52,19
5 55 52,47
6 56 52,82
7 55 53,04
8 54 53,14
9 56 53,42
10 57 53,78
d) Представим результаты графически:
e) Определим для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель):
Необходимо оценить адекватность и точность построения модели, т.е. необходимо выполнение следующих условий:
a) Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности:
Проверку случайности уровней ряда проведем по критерию пиков, должно выполняться:
t Фактическое
Расчётное
Отклонение
Точки пиков
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 53
51
52
54
55
56
55
54
56
57 51,97
52,49
53
53,52
54,03
54,55
55,06
55,58
56,09
56,61 1,03
-1,49
-1
0,48
0,97
1,45
-0,06
-1,58
-0,09
0,39 --
1
0
0
0
1
0
1
0
--
55 543 542,9 0,1 3
b) Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения:
Необходимые условия:
Если эти условия выполняются одновременно, то гипотеза о характере распределения случайной компоненты
←предыдущая следующая→
1 2
|
|