Оптимизация показателей

Для вирішення задачі лінейного програмування, потрібно записати вихідну задачу в формі задачі лінейного програмування, а потім застосовувати симплекс-метод . Основною задачею лінійного програмування – задача для якої:

1. потрібно визначити максимальне значення ф-ції

2. всі обмеження записані в вигляді рівностей

3. для всіх змінних виконується умова невідємності

Якщо обмеження має вид нерівності зі знаком >=, то шляхом множення його на (-1) переходять до нерівності зі знаком |-5|

4. Знаходимо визначальний рядок. Визанчальним назівається такий рядок, який відповідає найменшому з відношень компонентів стовпця Ро до додатніх компонентів визначального стовпця. (Рядок оцінок до уваги не приймається)

Min = ( 60/6; 36/9) = 4 – рядок 2.

5. Будують наступну с-т .

Для цього кожний елемент таблиці перераховуємо за формулою

aij=aij- (аіk* аnj)/ank де k-номер розв’язувального стовпця, а n- номер розв’язувального рядка

aij—елемент строки- і, стовпця- j нової сиплекс таблиці

aij—елемент строки- і, стовпця-j попередньої симплекс-таблиці

аіk-- елемент що знаходиться у визначальному стовпці попер. с-т.

аnj-- елемент що знаходиться у визначальному рядку попер с-т.

ank – элемент що стоїть на перехресті визн рядка и строки у попер сим-т.

a10= 60 – (36*6)/9 = 36

a11= 10 +(6*4)/9 = 38/3

№ рядка Базис Сб Р0 Р1

Р2 Р3 Р4 Р5

1 Р3 0 36 0 0 -1 1/5 0

2 Р2 6 4 -4/9 1 1 1/5 0

3 Р5 0 16 28/9 0 0 3/5 1

4 F 24 -23/3

0 0 1 1/5 0

Таблиця № 2

Х1=(0;4;36;0;16) F(X1) = 24

В рядку оцінок є одне відємне число. Тому Р1 – визначальний стовпець

Min = ( 36/38*3;16/4;9) = 54/19 – визначальний рядок Р3

Таблиця № 3

№ рядка Базис Сб Р0 Р1 Р2 Р3 Р4 Р5

1 Р1 5 54/19 1 0 3/38 -1/19 0

2 Р2 6 100/19 0 1 2/57 5/57 0

3 Р5 0 136/19 0 0 -14/57 22/57 1

4 F 870/19 0 0 21/38 5/19 0

X3= ( 54/19;100/19;0;0;136/19) F3(X3) = 45 15/19

В рядку оцінок нема відємних значень, тому даний опорний план є оптимальним. Але не виконується умова цілочисельності, тому слід застосувати відсічення по методу Гоморі.

2. Застосування і побудова відсічення по методу Гоморі

х1=54/19, х2=100/19

До системи обмежень основного завдання добавляємо ще одну нерівність виду: F(a*ij)*xij>= F(b*ij), де a*ij і b*ij дробови частини чисел.

Під дробовою частиною числа а розуміють найменше невідємне число в і таке, що а – в є цілим числом.Якщо в оптимальному плані вихідного завдання дробового значення приймають декілька змінних, то додаткова нерівність будується для змінної, в якої найбільша дробова частина.

F(x1)>F(x2) (16/19 >5/19)

-3/38х3-18/19х4 + х6 = -16/19

таблиця № 4

№ рядка Базис Сб Р0 Р1 Р2 Р3 Р4 Р5 Р6

1 Р1 5 54/19 1 0 3/38 -1/19 0 0

2 Р2 6 100/19 0 1 2/57 5/57 0 0

3 Р5 0 136/19 0 0 -14/57 22/19 1 0

4 Р6 0 -16/19 0 0 -3/38 -18/19

0 1

5 F 870/19 0 0 23/38 5/19 0 0

Х4 = ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19) F(X4) = 45 15/19

Т.к. опорний план містить відємну змінну то треба застосувати подвійний

с. м.

3.

Відшукання розвязку ЗЛП подвійним с-м включає слідуючі етапи:

1. Знахдять опорне рішення

Х4 = ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19) F(X4) = 45 15/19

2. Перевіряють знайдений опорний розвязок на оптимальність.

Розвязок не оптимальний, тому слід перейти до нового опорного рішення.

3. Вибираемо визначальний рядок. Визначальним називається той, який відповідає найбільшому за модулем відємному значенню в стовпцю Ро

Рядок № 4

4. Вибираємо визначальний стовпчик. Той, який відповідає найменшему відношенню рядка оцінок до ньгого. (по модулю)

Min = (23/38*38/3;5/19*19/18) = 5/18 стовпець Р4

Таблиця № 5

№ рядка Базис Сб Р0 Р1 Р2 Р3 Р4 Р5 Р6

1 Р1 5 26/9 1 0 1/12 0 0 -1/18

2 Р2 6 140/27 0 1 1/36 0 0 5/54

3 Р5 0 1048/171 0 0 -13/38 0 1 11/9

4 Р4 0 8/9 0 0 1/12 1 0 -19/18

5 F 410/9 0 0 7/12 0 0 5/18

Х5= (26/9;140/27;0;0;8/9;1048/171) F5 = 45 5/9

F(x1) = f ( 2 8/9) = 8/9

F (x2) = f ( 5 5/27) = 5/27

-1/12х3 – 17/18х6 + х7 = -8/9

таблица № 6

№ рядка Базис Сб Р0 Р1 Р2 Р3 Р4 Р5 Р6 Р7

1 Р1 5 26/9 1 0 1/12 0 0 -1/18 0

2 Р2 6 140/27 0 1 1/36 0 0 5/54 0

3 Р5 0 1048/171 0 0 -13/38 0 1 11/9 0

4 Р4 0 8/9 0 0 1/12 1 0 -19/18 0

5 Р7 0 -8/9 0 0 -1/12 0 0 -17/18

1

6 F 410/9 0 0 7/12 0 0 5/18

0

Таблица № 7

№ рядка Базис Сб Р0 Р1 Р2 Р3 Р4 Р5 Р6 Р7

1 Р1 5 50/17 1 0 3/34 0 0 0 -1/17

2 Р2 6 260/51 0 1 1/57 0 0 0 5/57

3 Р5 0 1608/323 0 0 -436/969 0 1 0 11/17

4 Р4 0 32/17 0 0 3/17 1 0 0 -19/17

5 Р6 0 16/17 0 0 3/34 0 0 1 -18/17

6 F 770/17 0 0 19/34 0 0 0 5/17

Х6= ( 50/17;260/51;0;32/17;1608/323;16/17) F6 = 45 5/17

Будуємо нове відсічення:

F(x1) = f(2 16/17) = f(16/17) = 16/17

F(x2) = f (5 5/51) = f(5/51) = 5/51

F(x1)> F(x2)

-3/34x3 – 16/17x7 + x8 = -16/17

таблица №8

№ рядка Базис Сб Р0 Р1 Р2 Р3 Р4 Р5 Р6 Р7 Р8

1 Р1 5 50/17 1 0 3/34 0 0 0 -1/17 0

2 Р2 6 260/51 0 1 1/57 0 0 0 5/57 0

3 Р5 0 1608/323 0 0 -436/969 0 1 0 22/17 0

4 Р4 0 32/17 0 0 3/17 1 0 0 -19/17 0

5 Р6 6 16/17 0 0 3/34 0 0 1 -18/17 0

6 Р8 0 -16/17 0 0 -3/34 0 0 0 -16/17

1

7 F 770/17 0 0 19/34 0 0 0 5/17 0

Таблица №9

№ рядка Базис Сб Р0 Р1 Р2 Р3 Р4 Р5 Р6 Р7 Р8

1 Р1 5 3 1 0 3/32 0 0 0 0 0

2 Р2 6 5 0 1 1/96 0 0 0 0 0

3 Р5 0 70/19 0 0 -521/912 0 1 0 0 0

4 Р4 0 3 0 0 9/32 1 0 0 0 0

5 Р6 0 2 0 0 3/16 0 0 1 0 0

6 Р7 0 1 0 0 3/32 0 0 0 1 1

7 F 45 0 0 17/32 0 0 0 0 0

Х*=(3; 5) F*=45

4. Геометирчна интерпретація процесу розвязку.

Геометирчна интерпретація процесу розвязку дозволяє наглядно проілюстровати процесс знаходження оптимального плану.

1) Будують прямі, рівняння яких отримують в результаті заміни в обмеженнях знаків нерівностей на знаки =.

10x1 + 6x2 =60 (1)

-4x1 + 9x2 = 36 (2)

4x1 - 2x2 = 8 (3)

x1=0, (4)

x2=0 (5)

Графіком рівняння x1 = 0 є вісь ординат, x2 =0 – вісь абсцисс.

Графіки решти рівнянь будують так. Оскільки графіки – це прями, то достатньо для кожного рівняння знайти дві точки, задовільнюючі йому, і через них провести пряумю.

2) Визначають область допустимих значень.

Область допустимих значень знаходиться в перший чверті координат, т.к. x1,x20 x1,x2-цілі числа

На коорд. Площині вибирають довільну точку і перевіряють виконання тотожністів рівняннях-обмеженнях. Якщо тотожність вірна, то дана нпівплощина – площина напівплощина допустимих рішень.

3) Будують радіус-вектор.

10

М

4

(2)

6

-9

(3)

(1)

-4

10

В М

4

( I )

(2)

6

-9

(3)

(1)

-4