Экономико-математическое моделирование /
←предыдущая следующая→
1 2
Кафедра «Математики»
Семестровая контрольная работа по курсу
«Эконометрика»
Эконометрический анализ производственной функции Кобба-Дугласа
Выполнил: студент гр. БО 301 Ковчегин И. А.
Преподаватель: к.э.н. Ботвинник А.В.
Возникновение теории производственных функций принято относить к 1927 г., когда появилась статья американских ученых экономиста П. Дугласа (P. Douglas) и ма¬тематика Д. Кобба (D. Cobb) «Теория производства». В этой статье, была предпринята попытка, эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капита¬ла и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышлен¬ности США.
Как уже было сказано, производственная функция отражает функциональную связь между объёмом эффективно используемых факторов производства (трудом и имущественным капиталом) и с их помощью достигаемым выпуском при существующем техническом и организационном знании.
При субституционной производственной функции производство может быть увеличено за счёт повышения количественной характеристики одного из факторов, в то время как количественная характеристика другого фактора остаётся без изменения, в другом варианте же производство остаётся без изменения при различных количественных комбинациях факторов труда и имущественного капитала.
Субстиционная производственная функция имеет в общем следующее выражение:
где:
K – число производственного капитала
L – число производственных трудовых часов или, другими словами, число производственных единиц гуманного капитала
На основе условно введённой субстиционности факторов производства можно сделать следующие два вывода относительно функциональной взаимосвязи данных факторов:
При прочих равных увеличение одного из факторов производства ведёт к увеличению выпуска – первая производная положительна.
Однако предельная производительность возрастающего фактора уменьшается с увеличением величины данного фактора – вторая производная отрицательна.
Уровень организационных и технических знаний отображается в соответствующих формах взаимодействий факторов. В рассматриваемом случае уровень знаний постоянен, т.е. в данных рамках предполагается отсутствие технического прогресса. Таким образом, субстиционная функция производства может быть представлена в виде следующего изображения, отражающего взаимосвязь между количеством труда и выпуском при заданном количестве имущественного капитала (рисунок 1):
Рисунок 1. Связь между производством и производственным трудом
Каждое увеличение количественного параметра имущественного капитала означает смещение кривой вверх и одновременного увеличения предельной производительности труда при заданном количестве рабочей силы, т.е. на основе вытекающего непосредственно из описанного вывода означает и более высокую величину выпуска при увеличении производственного фактора «труд»: кривая OK1 на рисунке показывает более крутой наклон по сравнению с кривой OK0 при любом числе занятых трудом.
С увеличением количественного параметра имущественного капитала увеличивается и средняя производительности труда, которая является частным от деления величины выпуска на величину затраченного труда. Однако при этом уменьшается коэффициент труда, определяющий среднее количество затраченного труда на каждую единицу выпуска и являющийся таким образом обратной величиной средней производительности труда.
Величина имущественного капитала принимается в рамках данного кратковременного анализа как экзогенно заданная, поэтому в модели и описании не учитывается технический прогресс, а также эффект увеличения производственных мощностей за счёт инвестиций.
В 1927 г. Пол Дуглас обнаружил, что если со¬вместить графики зависимости от времени логарифмов показателей реально¬го объема выпуска (y), капитальных затрат (К) и затрат труда (L), то рассто¬яния от точек графика показателей выпуска до точек графиков показателей затрат труда и капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он об¬ратился к Чарльзу Коббу с просьбой найти математическую зави¬симость, обладающую такой особенностью, и Кобб предложил следующую субституционную функцию:
Эта функция была предложена примерно 30 годами раньше Филипом Уикстидом (Wicksteed), но они были первыми, кто использовал для ее построения эмпирические данные.
Однако при больших значениях K и L эта функция не имеет экономического смысла, т.к. выпуск все время возрастает при возрастании затрат.
Кинетическая функция (где - норма технического прогресса за единицу времени) получена умножением функции Кобба-Дугласа на e, что снимает данную проблему и делает функцию Кобба-Дугласа экономически интересной.
Эластичность выпуска продукции по капиталу и труду равна со¬ответственно и , так как
,
и аналогичным образом легко показать, что (dy/dL)/(y/L) равно .
Следовательно, увеличение затрат капитала на 1% приведет к росту выпуска продукции на процентов, а увеличение затрат труда на 1% приведет к росту выпуска на процентов. Можно предположить, что обе величины и находятся между нулем и единицей. Они должны быть положительными, так как увеличение затрат производственных факторов должно вызывать рост выпуска. В то же время, вероятно, они будут меньше единицы, так как разумно предположить, что уменьшение эффекта от масштаба производства приводит к более медленному росту выпуска продукции, чем затрат производственных факторов, если другие факторы остаются постоянными.
Если и в сумме превышают единицу, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства (это означает, что если К и L увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции). Если их сумма равна единице, то это говорит о постоянном эффекте от масштаба производства (y увеличивается в той же пропорции, что и К и L). Если их сумма меньше, чем единица, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства (y увеличивается в меньшей пропорции, чем К и L).
В соответствии с допущением о конкурентности рынков факторов производства и имеют дальнейшую интерпретацию как прогнозируемые доли дохода, полученного соответственно за счет капитала и труда. Если рынок труда имеет конкурентный характер, то ставка заработной платы (w) будет равна предельному продукту труда (dy/dL):
.
Следовательно, общая сумма заработной платы (wL) будет равна y, а доля труда в общем выпуске продукции (wL/Y) составит постоянную величину . Аналогичным образом норма прибыли выражается через dy/dK:
,
и, следовательно, общая прибыль (К) будет равна y, а доля прибыли будет постоянной величиной .
Существует ряд проблем по применению такой функции, особенно в тех случаях, когда она используется для экономики в целом. В частности, даже в тех случаях, когда между выпуском продукции, производственным оборудованием и трудом в производственном процессе существует технологическая зависимость, то совершенно необязательно, что подобная зависимость существует тогда, когда ука¬занные факторы комбинируются в масштабах экономики в целом. Во-вторых, даже если такая зависимость для экономики в целом существует, то нет никаких оснований считать, что она будет иметь простую форму.
При построении производственной функции Кобба–Дугласа параметры A, , можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов (МНК):
1) Производственную функцию Кобба–Дугласа приводят к линейному виду путем логарифмирования
2) При применении МНК цель заключается в минимизации суммы квадратичных отклонений (SSD) между наблюдаемыми величинами ln(yi), (i=1…N; N – количество наблюдений) и соответствующими оценками .
3) Введем векторы
; ;
;
и матрицу
Тогда критерий можно записать в виде
.
Дифференцируя SSD по вектору Х и приравнивая производную к нулю систему уравнений МНК
или
.
4) Для оценки критерия значимости выборочных коэффициентов регрессии оценивают дисперсию выборочных коэффициентов
,
где cii – элементы главной диагонали матрицы .
2 – дисперсия погрешности измерений.
Оценка 2 определяется по формуле
Рассчитывается значение t – параметра
Если полученное значение t больше, чем табличное t при (N-3-1) степеней свободы, тогда Xi существенно отлично от нуля при уровне .
Доверительные границы для определяются по формуле
Тогда вероятность того, что величина Xi действительно находится в этих пределах, составит 1–.
5) Для оценки адекватности регрессивной модели наблюдаемым величинам объема выпуска y рассчитывается коэффициент множественной детерминации:
,
где .
При малом объеме выборки используется скорректированный коэффициент множественной детерминации
Чем меньше отличается от единицы, тем более обосновано решение о том, что выборочные коэффициенты регрессии могут быть полезны для изучения производственного процесса.
Мы имеем данные по ВВП Мексики за 20 лет (таблица
←предыдущая следующая→
1 2
|
|