Сборник лабораторных работ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Лабораторная работа № 4

«Исследование систем управления моделированием»

Выполнил:

Проверил:

Алексеев С.И.

Москва, 2005

Цель работы: ознакомление с производственными функциями и методом наименьших квадратов.

Методы работы: линейная функция, квадратичная функция, экспонента.

Содержание работы:

1. Для заданных значений производственной функции найдем наилучшую линейную модель .

Таблица 1 Исходные данные

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y(i) 5 10 20 50 60 80 100 130 170 250

Составим матрицу плана

х1 1

x2 1

хn 1

Х п =

Найдем определитель

Хi = y + Ei

Xi = kx i+ b + Ei

( Ei2/n)1/2 min

F (k,b) =  (yi – yi mod)2=  (yi – kxi –b)2

DF/DK=0 DF/DK=  2(yi-kxi-b)*(-xi)=0

DF/DB=0 DF/DB=  2(yi-kxi-b)*(-1)=0

- xiyi + k  xi2 + b  xi =0

 yi – k  xi – b 1 =0

k  xi2+b xi =  xiyi

k  xi +b  1=  yi

A = xi2 xi

xi 1

B = xiyi вектор наблюдений

yi

x= k

b

^

k = (xT * x)-1 * xT * y

^

b

(xT * x) = xi2 xi

xi 1

k = k/

b = b/

Подставим в формулы табличные значения.

Табл. Результатов

k b se

24,51515

-47,3333 25,44751

2. Для заданных значений производственной функции найдем наилучшую квадратичную модель . Определим остаточную сумму квадратов se между найденной моделью и исходными значениями.

Матрица плана

Х12 х1 1

Хпл= х22 х2 1

Хn2 xn 1

Xi= axi2+bxi+c+Ei

( Ei2/n)1/2 min

F(a,b,c) = (yi- axi2- bxi-c)2

DF/DA=0 Df/DA=  (yi- axi2- bxi-c)*(-xi2)=0

DF/DB=0 DF/DB=( yi- axi2- bxi-c)*(-xi)=0

DF/DC=0 DF/DC=( yi- axi2- bxi-c)*(-1)=0

-yixi2+axi4+bxi3+cxi2=0

-yixi+axi3+bxi2+cxi=0

-yi+axi2+bxi+c1=0

xi4 xi3 xi2 xi2 yi

A= xi3 xi2 xi B=  xiyi

xi2 xi 1  yi

a

x= b

c

a=a/

b=b/

c=c/

Подставим табличные значения.

Таблица 4 Результаты

a b c se

0,393262

3,290903 0,0059 90,32221

Вывод: Сравнивая две модели, линейный и квадратичный графики, видно, что линейная модель лучше, у нее меньше остаточная сумма квадратов.