←предыдущая следующая→
1 2
Южно-Сахалинский Государственный Университет
Кафедра математики
Курсовая работа
Тема: Производная в курсе алгебры средней школы
Автор: Меркулов М. Ю.
Группа: 411
Руководитель: Чуванова Г. М.
Оценка:
Южно-Сахалинск
2002г
Введение
В первой главе курсовой работы речь пойдет о понятии производной, ее истории и областях ее применения. Во второй главе будет детально рассмотрен курс изу-чения производной трех учебников по алгебре и началам анализа для 10-11кл. : Алимова, Башмакова и под редакцией Колмогорова. Цель курсовой работы – раскрыть понятие производной, рассмотреть систему ее изучения в учебниках средней школы, охарактеризовать особенности изложения материала и дать ре-комендации по поводу использования этих учебников.
Производная и ее применение
1. Понятие производной
1-1. Исторические сведения
Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения
Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского матема-тика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изуче-ния вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинема-тическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в ра-ботах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Ло-питаль, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
1-2. Понятие производной
Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в проме-жутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка
Дадим аргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получит приращение ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной от функции f(x).
y'(x)=
1-3. Правила дифференцирования и таблица производ-ных
C' = 0 (xn) = nxn-1 (sin x)' = cos x
x' = 1 (1 / x)' = -1 / x2 (cos x)' = -sin x
(Cu)'=Cu' (√x)' = 1 / 2√x (tg x)' = 1 / cos2 x
(uv)' = u'v + uv' (ax)' = ax ln x (ctg x)' = 1 / sin2 x
(u / v)'=(u'v - uv') / v2 (ex)' = ex (arcsin x)' = 1 / √ (1- x2)
(logax)' = (logae) / x (arccos x)' = -1 / √ (1- x2)
(ln x)' = 1 / x (arctg x)' = 1 / √ (1+ x2)
(arcctg x)' = -1 / √ (1+ x2)
2. Геометрический смысл производной
2-1. Касательная к кривой
Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN, ес-ли точку N неограниченно приближать по кривой к M.
Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 + ∆x, его значе-нию соответствует значение функции y0 + ∆y = f(x0 + ∆x). Соответствующая точка - N(x0 + ∆x, y0 + ∆y). Проведем секущую MN и обозначим φ угол, образо-ванный секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что ∆y / ∆x = tg φ. Если теперь ∆x будет приближаться к 0, то точка N будет пе-ремещаться вдоль кривой , секущая MN - поворачиваться вокруг точки M, а угол φ - меняться. Если при ∆x → 0 угол φ стремится к некоторому α, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол α, будет искомой касательной. При этом, ее угловой коэффициент:
То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тан-генсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).
Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное опреде-лению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция задана урав-нением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны част-ным производным f по x и y.
2-2. Касательная плоскость к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость, содер-жащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности, проходя-щим через M - точку касания.
Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо обыкно-венную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности некоторую кри-вую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями
x = φ(t); y = ψ(t); z = χ(t).
Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство ин-вариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравне-ние по t:
Уравнения касательной к кривой L в точке M имеют вид:
Т. к. разности x - x0, y - y0, z - z0 пропорциональны соответствующим дифферен-циалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так:
F'x(x - x0) + F'y(y - y0) + F'z(z - z0)=0
и для частного случая z = f(x, y):
Z - z0 = F'x(x - x0) + F'y(y - y0)
Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a) гипербо-лического параболоида
Решение:
Z'x = x / a = 2; Z'y = -y / a = -1
Уравнение искомой плоскости:
Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a
3. Использование производной в физике
3-1. Скорость материальной точки
Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении мате-риальной точки выражается уравнением s = f(t) и t0 -некоторый момент времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ∆t = t - t0 и вычислим прираще-ние пути: ∆s = f(t0 + ∆t) - f(t0). Отношение ∆s / ∆t называют средней скоростью движения за время ∆t, протекшее от исходного момента t0. Скоростью называют предел этого отношения при ∆t → 0.
Среднее ускорение неравномерного движения в интервале (t; t + ∆t) - это величи-на =∆v / ∆t. Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:
То есть первая производная по времени (v'(t)).
Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A + Bt + Ct2 +Dt3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2). Определить время после начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с2.
Решение:
v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt2; a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t = 2;
1,8 = 0,18t; t = 10 c
3-2. Теплоемкость вещества при данной температуре
Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T1 - T, на 1 кг. данного вещества необходимо разное количество теплоты Q1 - Q, причем отношение
для данного вещества не является постоянным. Таким образом, для данного ве-щества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры T: Q = f(T). Тогда ΔQ = f(t + ΔT) - f(T). Отношение
называется средней теплоемкостью на отрезке [T; T + ΔT], а предел этого выра-жения при ∆T → 0 называется теплоемкостью данного вещества при температуре T.
3-3. Мощность
Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс об-мена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится поня-тие работы силы. Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности: .
4. Дифференциальное исчисление в экономике
4-1. Исследование функций
Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического ана-лиза математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при вве-дении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при по-вышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудо-вание может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В эконо-мике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показа-теля: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, макси-мальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представля-ет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахож-дение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.
По теореме Ферма, если точка является экстремумом
←предыдущая следующая→
1 2
|
|