Алгебра

уравнений в радикалах и построена строгая теория ком¬плексных чисел. Поверхностному наблюдателю могло показаться, что теперь математики будут решать новые и новые классы алгебраических уравнений, до-казывать новые алгебраические тождества и т.д. Однако развитие алгебры пошло иным путем: из науки о буквенном исчислении и уравнениях она превратилась в общую науку об операциях и их свойствах.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “ги-перкомплексных чисел” - чисел с несколькими “мнимыми единицами”. Такую систему чисел, имевших вид а + bi+ cj + dk, где i2 =j2 = k2= - 1, построил в 1843 г. ирландский мате¬матик У. Гамильтон, который назвал их “ква¬тернионами”. Пра-вила действий над кватер¬нионами напоминают правила обычной ал¬гебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместитель¬ности): например, ij= k, a ji= -k

С операциями, свойства которых лишь от¬части напоминают свойства арифмети-ческих операций, математики XIX в. столкнулись и в других вопросах. В 1858 г. английский мате¬матик А. Кэли ввел общую операцию умно¬жения матриц и изу-чил ее свойства. Оказа¬лось, что к умножению матриц сводятся и многие изучав-шиеся ранее операции. Ан¬глийский логик Дж. Буль в середине XIX в. начал изу-чать операции над высказываниями, позволявшие из двух данных высказываний построить третье, а в конце XIX в. немецкий математик Г. Кантор ввел операции над мно¬жествами: объединение, пересечение и т.д. Оказалось, что как операции над высказыва¬ниями, так и операции над множествами обладают свойствами коммутативности (пере¬местительности), ассоциативности (сочета¬тельности) и ди-стрибутивности (распредели¬тельности), но некоторые их свойства не похожи на свойства операций над числами.) Таким образом, в течение XIX в. в матема¬тике возникли разные виды алгебр: обычных чисел, комплексных чисел, кватернионов, ма¬триц, высказываний, множеств и т.д. Каждая из них имела свои правила, свои тождества, свои методы решения уравнений. При этом для некоторых видов ал-гебр правила были очень похожими. Например, правила алгебры рациональных чисел не отличаются от правил алгебры действительных чисел. Именно по¬этому формулы, которые в VI классе устана¬вливают для рациональных значений букв, оказываются верными и для любых действи¬тельных (и даже любых комплексных) значе¬ний тех же букв. Одинаковыми оказались и правила в алгебре высказываний и в алгебре множеств. Все это привело к созданию аб¬страктного понятия компо-зиции, т.е. опера¬ции, которая каждой паре (а, b) элементов не¬которого множества Х сопоставляет третий элемент с того же множества. Композициями были сложе-ние и умножение как натуральных, так и любых целых, а также рациональных, действительных и комплексных чисел, “умно¬жение” матриц, пересечение и объе-динение подмножеств некоторого множества U и т.д. А вычитание и деление во множестве нату¬ральных чисел не являются композициями, так как и разность, и частное могут не быть натуральными числами.

Изучение свойств композиций разного вида привело к мысли, что основная за-дача ал¬гебры - изучение свойств операций, рассма¬триваемых независимо от объ-ектов, к ко¬торым они применяются. Иными словами, алгебра стала рассматри-ваться как общая на¬ука о свойствах законов композиции, свой¬ствах операций. При этом два множества, в каждом из которых заданы композиции, стали счи-таться тождественными с точки зре¬ния алгебры (или, как говорят, “изоморфны¬ми”), если между этими множествами можно установить взаимно-однозначное соответ¬ствие, переводящее один закон композиции в другой. Если два множества с композиция¬ми изоморфны, то, изучая одно из них, мы уз¬наем алгебраические свойства другого.

В наши дни алгебра - одна из важнейших частей математики, находящая прило-жения как в сугубо теоретических отраслях науки, так и во многих практических вопросах.