Пример: Транспортная логистика
Я ищу:
На главную  |  Добавить в избранное  

Математика /

Алгебра и Начало анализа

←предыдущая следующая→  
1 2 3 



Скачать реферат


Формулы половинного аргумента

1. Выразив правую часть формулы cos 2 = cos2 - sin2 через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям

cos 2 = 1 - sin2 , cos 2 = 2 cos2 - 1.

Если в данных соотношениях положить = /2, то получим:

cos = 1 - 2 sin2 /2, cos 2 = 2 cos2 /2 - 1. (1)

2. Из формул (1) следует, что

(2), (3).

3. Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим

(4).

4. В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол /2.

5. Полезно знать следующую формулу:

.

№ 19

Формулы суммы и разности синусов, косинусов

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.

Чтобы представить в виде произведения сумму sin + sin , положим = x + y и = x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:

sin + sin = sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.

Решив теперь систему уравнений = x + y, = x - y относительно x и y, получим х = , y = .

Следовательно,

sin + sin = 2 sin cos .

Аналогичным образом выводят формулы:

sin -sin = 2 cos sin ;

cos + cos = 2 cos cos ;

cos + cos = -2 sin sin .

№ 20

Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0, где , достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства прибавить . Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение = - q .

Оно отличается от простейшего уравнения x2 = m только внешним видом: стоит вместо x и - q - вместо m. Находим = . Отсюба х = - . Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если < q . Может также оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если = q . Возращаемся к обычному виду .

1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2 = -р, а х1х2 = q .

2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х1, х2 таковы, что х1 + х2 = -р и х1х2 = q , то х1 и х2 - корни уравнения x2 + px + q = 0.

№ 21

Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.

Формулу (где b > 0, a > 0 и a 1) называют основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов:

1. ;

2. ;

3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

.

Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

x = , y = .

Перемножим почленно эти равенства, получаем:

xy = = .

Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.

4. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:

.

Ход доказательства аналогичен доказательству п.3

5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:

.

При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.

№ 22

1. Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: .

2. Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х0 только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х0, включая эту точку.

3. Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.

4. Существование производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен . В этом состоит геометрический смысл производной.

5. Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.

№ 23

1. Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:

.

2. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их производные дифференцируемы в этой точке и

.

3. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, а С - постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и

.

4. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х0 и

.


←предыдущая следующая→  
1 2 3 



Copyright © 2005—2007 «Mark5»