Алгебраическая проблема собственных значений

1),X(2),X(3)

DO 1 1=1,50

CALL GMPRD (S, X, R, 3, 3, 1)

DO 2 J=1,3

2 X(J) = R(J)

CALL NORML(XLAM,X)

WRITE(6,103) I,XLAM,X(1),X(2),X(3)

IF(ABS((XOLD-XLAM)/XLAM).LE.0.0001) GO TO 3

1 XOLD = XLAM

3 WRITE(6,100)

100 FORMAT (1X 54C'-''))

101 FORMAT (2X ‘ITERATION’, ЗХ ‘ITERATION’, 11X,‘EIGENVECTOR')

102 FORMAT (3X 'NUMBER", 6X ,'(N/M**2)’, 5X, ‘X(1)’,

6X,'X(2)',6X,’X(3)’)

103 FORMAT (1X,I5,7X,E12.5,3F10.5)

104 FORMAT (1X,I5,19X,3F10.5)

STOP

END

{**********************************************************************}

SUBROUTINE NORML(XL,X)

DIMENSION X(3)

{**********************************************************************}

Подпрограмма NORML.

ЭТА подпрограмма находит наибольший из трех элементов собственного вектора и нормирует собственный вектор по этому наибольшему элементу.

{**********************************************************************}

# FIND THE LARGEST ELEMENT

XBIG = X(1)

IF(X(2).GT.XBIG)XBIG=X(2)

IF(X(3).GT.XBIG)XBIG=X(3)

# Нормирование по XBIG

X(l) = X(1)/XBIG

X(2) = X(2)/XBIG

X(3) = X(3)/XBIG

XL = XBIG

RETURN

END

{**********************************************************************}

Результат работы программы получаем в виде:

Номер

Итерации Собственное

Значение

( N / M ** 2 ) Собственный вектор

X (1) X (2) X (3)

0. 1.00000 0. 0.

1. 0.10000 Е 08 1,00000 0.50000 0.60000

2. 0.26000Е 08 0.61923 0.66923 1.00000

3. 0.36392Е 08 0.42697 0.56278 1.00000

4. 0.34813Е 08 0.37583 0.49954 1.00000

5. 0.34253Е 08 0.35781 0.46331 1.00000

6. 0.34000Е 08 0.34984 0.44280 1.00000

7. 0.33870Е 08 0.34580 0.43121 1.00000

8. 0.33800Е 08 0.34362 0.42466 1.00000

9. 0.33760Е 08 0,34240 0.42094 1.00000

10. 0.33738Е 08 0.34171 0.41884 1.00000

11. 0.33726Е 08 0.34132 0.41765 1.00000

12. 0.33719Е 08 0,34110 0.41697 1.00000

13. 0.33714Е 08 0.34093 0.41658 1.00000

14. 0.33712Е 08 0.34091 0.41636 1.00000

Отметим, что для достижения требуемой точности потребовалось 14 итераций.

Определение наименьшего собственного значения методом итераций

В некоторых случаях целесообразно искать наименьшее, а не наибольшее собственное значение. Это можно сделать, предвари¬тельно умножив исходную систему на матрицу, обратную A:

А-1АX=А-1X.

Если обе части этого соотношения умножим на 1/, то получим

1/ Х = A-1X.

Ясно, что это уже иная задача на собственное значение, для кото¬рой оно равно 1/, а рассматриваемой матрицей является A-1. Максимум 1/, достигается при наименьшем . Таким образом, описанная выше итерационная процедура может быть использо¬вана для определения наименьшего собственного значения новой системы.

Определение промежуточных собственных значений методом итераций

Найдя наибольшее собственное значение, можно определить следующее за ним по величине, заменив исходную матрицу мат¬рицей, содержащей лишь оставшиеся собственные значения. Используем для этого метод, называемый методом исчерпывания. Для исходной симметричной матрицы A с известным наиболь¬шим собственным значением 1 и собственным вектором X1 мож¬но воспользоваться принципом ортогональности собственных векторов, т. е. записать

ХiT Хj =0 при ij и ХiT Хj =1 при i=j.

Если образовать новую матрицу A* в соответствии с формулой

A* =A-1Х1 Х1T,

то ее собственные значения и собственные векторы будут связаны соотношением

А*Xi =iXi.

Из приведенного выше выражения для матрицы A* следует, что

A* Хi = AХi -Х1 Х1TXi.

Здесь при i = 1 свойство ортогональности позволяет привести правую часть к виду

A Х1 - 1 Х1.

Но по определению собственных значений матрицы A это выра¬жение должно равняться нулю. Следовательно, собственное значение 1 матрицы A* равно нулю, а все другие ее собственные значения совпадают с собственными значениями матрицы A. Таким образом, матрица A* имеет собственные значения 0, 2, 3,. . ., n и соответствующие собственные векторы Х1, Х2, Хз,. . . .... Хn. В результате выполненных преобразований наибольшее собственное значение 1 было изъято, и теперь, чтобы найти сле¬дующее наибольшее собственное значение 2, можно применить к матрице A* обычный итерационный метод. Определив 2 и Х2, повторим весь процесс, используя новую матрицу A**, получен¬ную с помощью A*, 2 и Х2. Хотя на первый взгляд кажется, что этот процесс должен быстро привести к цели, он имеет сущест¬венные недостатки. При выполнении каждого шага погрешности в определении собственных векторов будут сказываться на точ¬ности определения следующего собственного вектора и вызы¬вать накопление ошибок. Поэтому описанный метод вряд ли применим для нахождения более чем трех собственных значений, начиная с наибольшего или наименьшего. Если требуется полу¬чить большее число собственных значений, следует пользоваться методами преобразования подобия.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МЕТОДАМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ

Метод преобразований подобия применяется с целью получить из исходной матрицы новую с теми же собственными значениями, но более простого вида. Очевидно, самым лучшим упрощением было бы приведение матрицы к чисто диагональному виду, так как в этом случае собственные значения просто соответствовали бы элементам матрицы, стоящим на главной диагонали. К сожале¬нию, большая часть методов преобразования не позволяет этого сделать, и приходится довольствоваться приведением матрицы к трехдиагональной форме.

Метод Якоби

Метод Якоби позволяет привести матрицу к диагональному виду, последовательно, исключая все элементы, стоящие вне глав¬ной диагонали. К сожалению, приведение к строго диагональному виду требует бесконечно большого числа шагов, так как образо¬вание нового нулевого элемента на месте одного из элементов матрицы часто ведет к появлению ненулевого элемента там, где ранее был нуль. На практике метод Якоби рассматривают, как итерационную процедуру, которая в принципе позволяет доста¬точно близко подойти к диагональной форме, чтобы это преобра¬зование можно было считать законченным. В случае симметрич¬ной матрицы A действительных чисел преобразование выполня¬ется с помощью ортогональных матриц, полученных в результате вращении в действительной плоскости. Вычисления осуществ¬ляются следующим образом. Из исходной матрицы А образуют матрицу A1 == Р1АР1T. При этом ортогональная матрица Р1 выбирается так, чтобы в матрице А1 появился нулевой элемент, стоящий вне главной диагонали. Затем из А1 с помощью второй преобразующей матрицы Р2, образуют новую матрицу A2. При этом Р2, выбирают так, чтобы в A2 появился еще один нулевой внедиагональный элемент. Эту процедуру продолжают, стремясь, чтобы на каждом шаге в нуль обращался наибольший внедиагональный элемент. Преобразующая матрица для осуществления указанной операции на каждом шаге конструируется следующим образом. Если элемент аkl матрицы Ат-1 имеет максимальную величину, то Рт соответствует

Pkk = Pll = cos ,

Pkl = - Plk = sin ,

Pii = 1 при i k, l, Pij = 0 при i j.

Матрица Ат будет отличаться от матрицы Am-1 только строками и столбцами с номерами k и l. Чтобы элемент аkl(m) был равен нулю, значение  выбирается так, чтобы

2 akl(m-1)

tg 2  = ------------------------- .

akk(m-1) – all(m-1)

k l

Cos  . . . . . . sin  k

Pm = 1

- sin  Cos  l

Значения  заключены в интервале

 

- —

	Пример: Транспортная логистика
Я ищу:
На главную \| Добавить в избранное