←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5
полный квадрат под первым знаком корня: .
Получим уравнение: . Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим в правую и умножим уравнение на -1: . Возведем обе части уравнения в квадрат с учетом , получим . Найдем корни: . Учитывая ОДЗ и дополнительное ограничение , получаем ответ: .
Задача 15.
Решить систему уравнений: .
Решение:
ОДЗ: .
Из второго уравнения находим и подставляем в первое: .
Делаем замену переменной: . Получаем квадратное уравнение относительно t: . Получим корни: .
Имеем 2 случая:
1. - это невозможно, т.к. - неотрицательная величина.
2. . Отсюда .
Ответ: (1; 9).
Задача 16.
Решить задачу: Два туриста идут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый выходит из А на 6 часов раньше, чем второй из В, и при встрече в пункте С оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов после встречи, а второй в А – через 9 часов. Определить расстояние АВ и скорость обоих пешеходов.
Решение:
Пусть (км/ч) – скорости первого и второго пешеходов, S(км)=АВ. Изобразим на чертеже движение пешеходов.
Т.к. участок ВС первый прошел за 8 часов, то . Второй прошел расстояние СА за 9 часов, поэтому .
Из условия задачи имеем: .
Выразим теперь время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи: .
Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то: .
Сделаем замену: и решим уравнение: . Это уравнение корней не имеет. Следовательно, ответ: такая ситуация невозможна.
Задача 17.
Решить задачу: Два туриста идут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый выходит из А на 6 часов раньше, чем второй из В, и при встрече в пункте С оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов после встречи, а второй в А – через 9 часов. Определить расстояние АВ и скорость обоих пешеходов.
Решение:
Пусть (км/ч) – скорости первого и второго пешеходов, S(км)=АВ.
Т.к. участок ВС первый прошел за 8 часов, то . Второй прошел расстояние СА за 9 часов, поэтому .
Т.к. первый до встречи в С со вторым прошел на 12 км меньше, то . Выразим теперь время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи: .
Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то: .
Сделаем замену: и решим уравнение: . Его корни: .
Получили 2 случая:
1. .
2. .
Значит,
1. ;
2. .
Т.к. расстояние не может быть отрицательным, то подходит только второй случай.
Ответ: .
Задача 18.
Решить задачу: Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. Одна первая труба наполняет бассейн на 10 часов медленнее, чем одна вторая. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Решение:
Положим объем бассейна = 1. Пусть (ч) – время наполнения бассейна одной второй трубой. Тогда одна первая труба наполнит бассейн за часов. Находим производительность этих труб: . За 12 часов совместной работы с общей производительностью заполняется весь бассейн: . Решаем полученное уравнение: .
Ответ: .
Задача 19.
Решить задачу: В ателье поступило по одному куску черной, зеленой и синей ткани. Хотя зеленой ткани было на 9 м меньше, чем черной, и на 6 м больше, чем синей, стоимость кусков была одинаковой. Сколько метров ткани было в каждом куске, если известно, что стоимость 4.5 м черной ткани = общей стоимости 3 м зеленой и 50 см синей?
Решение:
Пусть -количество черной, зеленой и синей ткани соответственно.
Известно: . Используем формулу: , где - цена ткани, S – стоимость куска, q – количество ткани.
Пусть S = 1. Получим - цены тканей. Составим уравнение, связывающее эти стоимости: .
Выразим и через : .
Подставляем в последнее уравнение: .
. Получили .
Ответ: .
Задача 20.
Решить уравнение: .
Решение:
По формулам приведения приведем все функции к одному аргументу: . Получили уравнение: . По формулам сокращенного умножения разложим на множители: . По основному тригонометрическому тождеству , поэтому остается решить уравнение: .
Рассмотрим 2 случая:
1. . Разделим на , причем . Тогда имеем уравнение: tg x = 1. Следовательно, .
2. . Разделим на , причем . Тогда имеем уравнение: tg x = -1. Следовательно, .
Получили ответ: .
Задача 21.
Решить задачу: В окружности проведены 3 хорды: МА = 6 см, МВ = 4 см, МС = 1 см. Хорда МВ делит вписанный угол АМС пополам. Найти радиус этой окружности.
Решение:
Пусть угол . По теореме косинусов из треуг-ка имеем: . Аналогично из треуг-ка имеем: .
Отрезки и равны как хорды, стягивающие равные дуги, поэтому вычтем из первого уравнения второе и получим: . Значит, . Треугольник вписан в окружность, следовательно, радиус данной окружности можно найти с помощью теоремы синусов: . Ответ: .
Задача 22.
Решить задачу: В сектор радиуса с центральным углом вписан круг. Найти его радиус.
Решение:
Дано: , угол .
Найти: .
Треугольник ABC – равнобедренный, т.к. AB=AC=R. Найдем BC по теореме косинусов: . , т.к. АК – высота треуг-ка АВС, следовательно, . Из прямоугольного треуг-ка АВК: . , где ОН=r. Из прямоугольного треуг-ка АОН: , значит, ответ: .
Задача 23.
Решить уравнение: .
Решение:
ОДЗ: .
Применяя формулы понижения степени, приведем это уравнение к более простому виду: , ,
.
Отсюда, используя формулу преобразования суммы косинусов в произведение, получаем: ,
,
.
Рассмотрим 2 случая:
1. ;
2. , следовательно, используя вновь формулу преобразования суммы косинусов в произведение, имеем:
a) ;
b) .
Таким образом, учитывая ОДЗ, получаем
Ответ: .
Задача 24.
Решить уравнение: .
Решение:
ОДЗ: .
Введем новую переменную, положив t = tg x. Так как , то уравнение примет вид: или . Число 2 является корнем полученного уравнения, поэтому это уравнение можно преобразовать следующим образом: . Сократим на (t-2). Квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: решений нет.
Задача 25.
Решить уравнение: .
Решение:
Преобразуем уравнение следующим образом:
.
Рассмотрим 2 случая:
1. ;
2. ;
Ответ: .
Задача 26.
Решить систему:
Решение:
Каждое из уравнений этой системы является простейшим, поэтому нетрудно заметить, что
Решая последнюю систему, получаем
Ответ: .
Задача 27.
Решить задачу: Основания трапеции 5 дм и 40 см. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Решение:
Пусть ABCD – трапеция, точка Р – середина диагонали АС, точка К – середина диагонали BD.
Нетрудно заметить, что точки Р и К лежат на средней линии EF трапеции. Так как ЕК – средняя линия треугольника ABD, то . Аналогично, , поскольку является средней линией треугольника АВС. Следовательно, .
Ответ: 17.5 см.
Задача 28.
Решить задачу: Даны 2 стороны треугольника a, b и медиана , проведенная к стороне c. Найти сторону с.
Решение:
Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСК. При этом . По свойству параллелограмма сумма его диагоналей равна сумме его сторон. Поэтому из равенства получаем
Ответ: .
Задача 29.
Решить задачу: Даны 2 стороны треугольника a, b и медиана , проведенная к стороне c. Найти сторону с.
Решение:
Воспользуемся формулой .
Ответ: .
Задача 30.
Решить задачу: Несколько рабочих выполняют работу за 14 дней. Если бы их было на 4 человека больше и каждый работал в день на 1 час больше, то та же работа была бы сделана за 10 дней. Если бы их было еще на 6 человек больше и каждый работал бы еще на 1 час в день больше, то эта работа была бы сделана за 7 дней. Сколько было рабочих, и сколько часов в день они работали?
Решение:
Пусть w - число рабочих, х – число часов их работы в день. Пусть вся работа равна единице, а у – производительность (в час) каждого рабочего.
Тогда один рабочий за х часов (т.е. в день) выполняет ху единиц работы, а w рабочих за 14 дней выполнят 14wxy единиц работы. Согласно условию 14wxy = 1.
Аналогично, если рабочих стало w + 4, и они работают каждый день х + 1 час, то
10(w + 4)(x + 1)y = 1.
Для случая, когда рабочих еще на 6 человек
←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5