←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5 6
Міністерство Освіти України
Одеський державний університет
ім. І.І.Мечнікова
Інститут математики, економіки та механіки
Атомічні розкладення функцій
у просторі Харді
Дипломна робота
студентки V курсу
факультету математики
Семенцовой В.А.
Науковий керівник
Вартанян Г.М.
Одеса ¬- 2000
Содержание
Введение.................................................................................... 3
Глава I. Основные сведения об интеграле Пуассона и
пространствах , и ................................. 8
§I.1. Интеграл Пуассона..................................................... 8
§I.2. Пространства ....................................................... 12
§I.3. Пространства и ......................................... 17
§I.4. Произведение Бляшке, нетангенциальная
максимальная функция............................................... 22
Глава II. Атомические разложения функции в пространстве
, пространство ВМО........................................ 26
§II.1. Пространство , критерий принадлежности
функции из пространству ....................... 26
§II.2. Линейные ограниченные функционалы на ,
двойственность и ВМО.................................. 32
Литература.................................................................................. 37
Введение.
Целью настоящей работы является изучение основных понятий и результатов, полученных в области пространств Харди, которая не изучалась в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства , , и , раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных понятий вводится именно в такой последовательности , так как определение каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее в выше перечисленном ряду объектов.
Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В первой главе изучены свойства пространств , , , а во второй мы доказываем коитерий принадлежности функции из пространству и двойственность пространств и .
В работе мы рассматриваем случай периодических функций. Используемые обозначения имеют следующий смысл:
- пространство периодических, непрерывных на функций;
- пространство периодических, бесконечно дифференцируемых на функций;
- пространство периодических, суммируемых в степени р на функций, т.е.для которых , ;
- пространство периодических ограниченных на функций;
- носитель функции .
В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона суммируемой на [-,] 2-периодической комплекснозначной функции называется функция
r ( x ) = ,
где , t - ядро Пуассона.
Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы неоднократно будем использовать в ряде доказательств:
а) ;
б) ;
в) для любого >0
Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении интеграла Пуассона при :
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -, ) , 1 p < , имеет место равенство
;
если же (x) непрерывна на [ -, ] и (-) = () , то
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда
для п.в. .
В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:
Определение1. Функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности. Говорят, что функция аналитична на некотором множестве,если она аналитична в каждой точке этого множества.
Определение2. Действительная функция двух действительных переменных называется гармонической в области , если и удовлетворяет уравнению Лапласа:
.
Определение3. Две гармонические функции и , связанные условиями Коши-Римана : , , называются гармонически сопряженными функциями.
Определение4. Под нормой пространства понимается
, .
Определение5. Под нормой пространства понимается
, .
Определение6. Пусть ( или , ). Модуль непрерывности ( соответственно интегральный модуль непрерывности) функции определяется равенством
, .
( , ).
Определение7. Последовательность функций, определенных на множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции , если для почти всех , т.е. множество тех точек , в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.
В §I.2 мы рассматриваем пространства - это совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма
.
Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую функцию ( ) можно предсавить в виде
, , ,
где для п.в. , при этом
;
.
Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих определениях:
Определение8. Говорят, что действительная функция , заданная на отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая постоянная , что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками выполнено неравенство .
Определение9. Действительная функция , заданная на отрезке [a,b], называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого найдется число такое, что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов , с суммой длин, меньшей : , выполняется неравенство .
В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению пространств и . Пространство ( ) представляет собой совокупность тех функций , , которые являются граничными значениями функций (действительных частей функций) из , т.е. представимы в виде ( ). Здесь мы получаем следующие результаты: при пространство совпадает с , а при р=1 уже, чем , и состоит из функций , для которых и .
В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции , аналитической в круге с нулями , ( ) с учетом их кратности:
,
где - кратность нуля функции при .
Здесь доказывается, что каждая функция представима в виде
, где не имеет нулей в круге и , ,а - произведение Бляшке функции .
Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции . Пусть , , - произвольное число. Обозначим через , , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при вырождается в радиус единичного круга). Для положим
, ,
где - интеграл Пуассона функции . Функция называется нетангенциальной максимальной функцией для .
Тут же мы доказываем теорему об оценке : если ( ), , то и .
Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году Харди и Литтлвудом.
Во второй главе два параграфа.
В §II.1 рассматривается пространство . Как ранее отмечалось, оно уже, чем . Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема - критерий принадлежности функции пространству . Здесь вводится понятие атома: действительная функция называется атомом, если существует обобщенный интервал такой, что
а) ; б) ; в) .
Атомом назовем также функцию , . Под обобщенным интервалом понимается либо интервал из , либо множество вида ( ).
Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году Р.Койфманом о том, что функция тогда и только тогда, когда функция допускает представление в виде
, , где , , - атомы. (*)
При этом , где inf берется по всем разложениям вида (*) функции , а с и С - абсолютные константы.
Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с атомами.
В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству , легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о двойственности пространств и . Доказательству этого факта и посвящен второй
←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5 6
|
|