Атомические разложения функций в пространстве Харди

второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение : пространство ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих условию

, (91)

где , а sup берется по всем обобщенным интервалам . А затем доказываем теорему о том, что .

Глава I.

Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах , и

§I.1.Интеграл Пуассона.

Пусть x , g(x) , xR1 –суммируемые на -,  , 2- периодические, комплекснозначные функции. Через fg(x) будем обозначать свертку

fg(x) = dt

Из теоремы Фубини следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на -, и

cn ( fg ) = cn ( f ) c-n ( g ) , n = 0, 1 , 2 , ... ( 1 )

где  cn ( f ) - коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

cn (f)= -i n tdt , n = 0, 

Пусть  L1 (-) . Рассмотрим при   r  функцию

r ( x ) = n ( f ) rn  ei n x , x  . ( 2 )

Так как для любых x , n = 0, , а ряд сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности функций стремятся к нулю при ), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r ,  r  . Коэффициенты Фурье функции r х равны cn ( fr ) = cn (f) r n  , n = 0 , , а это значит, что r  x  можно представить в виде свертки :

r ( x ) = , ( 3 )

где

, t   ( 4 )

Функция двух переменных Рr (t) , 0 r , t   , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) - интегралом Пуассона .

Следовательно,

Pr ( t ) = , 0r   , t  . ( 5 )

Если  L ( -  )  действительная функция , то , учитывая , что

c-n ( f ) = , n = 0 из соотношения (2) мы получим :

fr ( x ) =

= , ( 6 )

где

F ( z ) = c0 ( f ) + 2 ( z = reix ) ( 7 )

- аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно сходящегося по х ряда [5]. Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции  L1( -,  ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = r (eix ) , z = reix , 0  r 1 , x  [ -,  ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

v (z) = Im F (z) = . ( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге  z     функция и  (x) = u (eix) , x,   . Тогда

u (z) = ( z = reix ,  z    ) ( 10 )

Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

= ,  z   +  .

Но тогда коэффициенты Фурье функции связаны с коэффициентами Фурье функции следующим образом :

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции r (x) при r , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а) ;

б) ; (11)

в) для любого >0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3)  х  .

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -,  ) , 1  p <  , имеет место равенство

;

если же  (x) непрерывна на [ -,  ] и  (-) =  () , то

.

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

. ( 12 )

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

.

Следовательно,

.

Для данного    найдем  =  () такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим оценку

.

Аналогично, второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства

.

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

ОпределениеI.1.

Пусть функция , суммируема на любом интервале (a,b), a 0

, .

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

Доказательство.

Покажем, что для и

, ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x)*). Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа).

Пусть - такое число, что

.

Тогда для

.

Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора . Используя его, найдем такую последовательность функций ,что

,

( 14 )

для п.в. .

Согласно (13) при x (-)

Учитывая , что по теореме 1 для каждого x [- ] и (14)

из последней оценки получим

при r1.

Теорема 2 доказана.

Замечание1.

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x [- ] , когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности пути.

§I.2.Пространства Hp.

Определение I.3.

Пространство - совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма

. (15)

Пусть комплекснозначная функция удовлетворяет условиям

(16)

тогда