←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5 6
тогда функция F (z) , определенная равенством
(17)
принадлежит пространству , причем
. (18)
Действительно, аналитичность функции F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того, в силу неравенства мы имеем
()
С другой стороны , по теореме 1 ( а при р= в силу теоремы 2)
. Отсюда ()
Учитывая () и () , получим (18).
Ниже мы докажем, что любую функцию можно представить в виде (17). Для этого нам потребуется
Теорема 3.
Пусть комплекснозначная функция (t) имеет ограниченную вариацию на [ -] и
(19)
Тогда (t) абсолютно непрерывна на [-].
Замечание2.
В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации (t) . Мы говорим, что
(t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл
определен для каждой непрерывной на [-] функции f (t) , а также если
- характеристическая функция замкнутого множества .
Доказательство теоремы 3.
Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества ,
,
(20)
Для этой цели убедимся, что справедлива
Лемма 1.
Пусть F - замкнутое, а V - открытое множества , причем и
. Тогда для всякого , существует функция вида
, (21)
обладающая свойствами:
а) ;
б) ; (22)
в) .
Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.
Пусть , где - конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества F, и для
.
Очевидно, что - открытое множество и .
Рассмотрим для данных функцию , построенную в лемме 1 для числа и множества . Тогда нетрудно проверить[3], что если , а , то разность
. (23)
Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)
,
и мы получаем равенство (20).
Перейдем к доказательству леммы 1. Нам понадобится
ОпределениеI.4.
Средние Фейера - это средние вида
, где , , - ядро Дирихле,
, - ядро Фейера.
Отметим, что при ядро Фейера обладает следующими свойствами: а) , ; б) ,
Мз которых вытекает, что для и
,
Также известно [3], что средние Фейера равномерно сходятся к .
Пусть f(t) - непрерывная на [-, ] функция, для которой
и
Так как средние Фейера равномерно сходятся к и
, то существует тригонометрический полином
(24)
такой, что
(25)
Пусть . Рассмотрим для каждого такую функцию , что
,
(функцию можно построить следующим образом: взять замкнутое множество с мерой , достаточно близкой к 2, и положить
).
Так как (здесь число m то же, что в (24)), то для достаточно малых функция удовлетворяет соотношениям
(26)
При этом , если . Тогда средние Фейера функции h(t) имеют вид
и при достаточно большом N
(27)
Положим
, (28)
Так как h(t) - действительная функция, то , n=. Поэтому
и . (29)
Определим искомую функцию g(t) :
Ясно, что , а из (24) и (28) следует, что при n0;
б) если , , то и .
Теорема 5.
Следующие условия эквивалентны :
а) ;
б) , , , ;
в) ;
г) , где - такая действительная функция, что ее сопряженная также принадлежит пространству :
. (36)
Доказательство:
Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2.
Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы : , имеют место равенства
, (37)
Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что
, , ,
. Следовательно, равенства (37) выполняются, если - произвольный тригонометрический полином.
Пусть фиксировано. Для произвольной функции и положим
, ,
где , , .
Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций (наличие этих свойств мы установим ниже):
1) , , ;
2) при функции , , сходятся по мере к
;
3) , , ,
где С - абсолютная константа.
Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).
Легко видеть, что , где , поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций , :
по мере . (38)
Для произвольного найдем тригонометрический полином такой, что
, . (39)
Тогда согласно 3)
(40)
и при
. (41)
Так как - полином, то и
. (42)
Учитывая, что , и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим , ,
что вместе с (38) доказывает равенство (37).
Докажем теперь, что для произвольной функции справедливы соотношения 1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как .
Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное и представим функцию в виде
, , . (43)
Из непрерывности функции легко следует, что
равномерно по . Поэтому при достаточно больших с учетом (43) мы будем иметь
, (44)
Кроме того, в силу 1) и (43)
;
из этого неравенства и (44) вытекает, что при
.
Для доказательства оценки 3) заметим, что
,
где . Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции и учитывая, что , получим 3).
Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме 5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г).
Пусть ( , , ) и
. Тогда по теореме 4 , и надо доказать только, что для п.в. .
Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что при и
, .
С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого ,
, . (45)
Согласно теореме 1
. (46)
Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости ( ) следует сходимость по мере функций к . Таким образом,
по мере ( ),
а потому , учитывая (46), для п.в. .
Теорема 5 доказана.
Следствие 1.
а) Если , то ;
б) если и , то ;
в) если , , , , то
. (47)
Доказательство.
Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5.
Чтобы получить в), положим
,
.
Согласно теореме 5 , , а следовательно, . Но тогда (для п.в. ) , и из определения класса мы получим, что
. (48)
Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).
Замечание 3.
Если , то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство совпадает с . Для р=1 это не так. Пространство уже, чем , и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций , для которых и
←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5 6
|
|