Пример: Транспортная логистика
Я ищу:
На главную  |  Добавить в избранное  

Математика /

Атомические разложения функций в пространстве Харди

←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5 6 



Скачать реферат


тогда функция F (z) , определенная равенством

(17)

принадлежит пространству , причем

. (18)

Действительно, аналитичность функции F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того, в силу неравенства мы имеем

()

С другой стороны , по теореме 1 ( а при р= в силу теоремы 2)

. Отсюда ()

Учитывая () и () , получим (18).

Ниже мы докажем, что любую функцию можно представить в виде (17). Для этого нам потребуется

Теорема 3.

Пусть комплекснозначная функция  (t) имеет ограниченную вариацию на [ -] и

(19)

Тогда  (t) абсолютно непрерывна на [-].

Замечание2.

В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации  (t) . Мы говорим, что

 (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл

определен для каждой непрерывной на [-] функции f (t) , а также если

- характеристическая функция замкнутого множества .

Доказательство теоремы 3.

Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества ,

,

(20)

Для этой цели убедимся, что справедлива

Лемма 1.

Пусть F - замкнутое, а V - открытое множества , причем и

. Тогда для всякого , существует функция вида

, (21)

обладающая свойствами:

а) ;

б) ; (22)

в) .

Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.

Пусть , где - конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества F, и для

.

Очевидно, что - открытое множество и .

Рассмотрим для данных функцию , построенную в лемме 1 для числа  и множества . Тогда нетрудно проверить[3], что если , а , то разность

. (23)

Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)

,

и мы получаем равенство (20).

Перейдем к доказательству леммы 1. Нам понадобится

ОпределениеI.4.

Средние Фейера - это средние вида

, где , , - ядро Дирихле,

, - ядро Фейера.

Отметим, что при ядро Фейера обладает следующими свойствами: а) , ; б) ,

Мз которых вытекает, что для и

,

Также известно [3], что средние Фейера равномерно сходятся к .

Пусть f(t) - непрерывная на [-, ] функция, для которой

и

Так как средние Фейера равномерно сходятся к и

, то существует тригонометрический полином

(24)

такой, что

(25)

Пусть . Рассмотрим для каждого  такую функцию , что

,

(функцию можно построить следующим образом: взять замкнутое множество с мерой , достаточно близкой к 2, и положить

).

Так как (здесь число m то же, что в (24)), то для достаточно малых  функция удовлетворяет соотношениям

(26)

При этом , если . Тогда средние Фейера функции h(t) имеют вид

и при достаточно большом N

(27)

Положим

, (28)

Так как h(t) - действительная функция, то , n=. Поэтому

и . (29)

Определим искомую функцию g(t) :

Ясно, что , а из (24) и (28) следует, что при n0;

б) если , , то и .

Теорема 5.

Следующие условия эквивалентны :

а) ;

б) , , , ;

в) ;

г) , где - такая действительная функция, что ее сопряженная также принадлежит пространству :

. (36)

Доказательство:

Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2.

Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы : , имеют место равенства

, (37)

Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что

, , ,

. Следовательно, равенства (37) выполняются, если - произвольный тригонометрический полином.

Пусть фиксировано. Для произвольной функции и положим

, ,

где , , .

Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций (наличие этих свойств мы установим ниже):

1) , , ;

2) при функции , , сходятся по мере к

;

3) , , ,

где С - абсолютная константа.

Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).

Легко видеть, что , где , поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций , :

по мере . (38)

Для произвольного найдем тригонометрический полином такой, что

, . (39)

Тогда согласно 3)

(40)

и при

. (41)

Так как - полином, то и

. (42)

Учитывая, что , и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим , ,

что вместе с (38) доказывает равенство (37).

Докажем теперь, что для произвольной функции справедливы соотношения 1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как .

Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное и представим функцию в виде

, , . (43)

Из непрерывности функции легко следует, что

равномерно по . Поэтому при достаточно больших с учетом (43) мы будем иметь

, (44)

Кроме того, в силу 1) и (43)

;

из этого неравенства и (44) вытекает, что при

.

Для доказательства оценки 3) заметим, что

,

где . Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции и учитывая, что , получим 3).

Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме 5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г).

Пусть ( , , ) и

. Тогда по теореме 4 , и надо доказать только, что для п.в. .

Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что при и

, .

С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого ,

, . (45)

Согласно теореме 1

. (46)

Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости ( ) следует сходимость по мере функций к . Таким образом,

по мере ( ),

а потому , учитывая (46), для п.в. .

Теорема 5 доказана.

Следствие 1.

а) Если , то ;

б) если и , то ;

в) если , , , , то

. (47)

Доказательство.

Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5.

Чтобы получить в), положим

,

.

Согласно теореме 5 , , а следовательно, . Но тогда (для п.в. ) , и из определения класса мы получим, что

. (48)

Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).

Замечание 3.

Если , то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство совпадает с . Для р=1 это не так. Пространство уже, чем , и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций , для которых и

←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5 6 



Copyright © 2005—2007 «Mark5»