Атомические разложения функций в пространстве Харди

.

- банахово пространство с нормой

. (49)

Полнота с нормой (49) следует из утверждения 2 и полноты пространства : если при , то , , , и так как по мере при , то и при .

Замечание 4.

Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае, когда , , , .

Отметим также, что, взяв в (47) вместо функцию и учитывая б), мы получим

, если . (50)

§I.4.Произведение Бляшке,

нетангенциальная максимальная функция.

Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) - удовлетворяет условию

, , . (51)

Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)

. (52)

Для фиксированного , , при имеет место оценка

. (53)

Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге , т.е. функция аналитична в единичном круге и имеет нули в точках , , и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством ( , ), мы находим

, . (54)

Допустим теперь, что ( ) - нули некоторой функции с , причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим

,

Функция ( ) аналитична в круге радиуса больше единицы, и , если . Следовательно, и согласно п.3 теоремы 4 . Но тогда

и

, (55)

Так как , , то из (55) вытекает сходимость произведения , а значит, и сходимость ряда (51).

ОпределениеI.6.

Пусть - аналитическая в круге функция и , ( ) - ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также - кратность нуля функции при . Произведение

(56)

называется произведением Бляшке функции .

Справедлива

Теорема 6.

Каждая функция представима в виде

,

где не имеет нулей в круге и

, ,

а - произведение Бляшке функции .

Доказательство.

Пусть , ( ) - нули функции ( или, что то же самое, нули функции ) Тогда, как отмечалось выше, - аналитическая в круге функция и

, . (57)

При этом функция также аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и .

Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения (56):

, , .

Так как для любого , то по теореме 4

и

, если .

Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что ( ) равномерно по , мы получим

, ,

т.е. , .

Теорема 6 доказана.

ОпределениеI.7.

Пусть , , - произвольное число. Обозначим через , , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при вырождается в радиус единичного круга). Для положим

, ,

где - интеграл Пуассона функции . Функция называется нетангенциальной максимальной функцией для .

В силу теоремы 2

для п.в. . (58)

Установим, что для произвольной функции величина не превосходит (по порядку) значения максимальной функции *) в точке х, т.е.

, . (59)

Нам понадобится

утверждение 3.

а) если функция , то для любого

;

б) если функция , то ,

где - постоянная, зависящая только от числа р.

Пусть и . По определению интеграла Пуассона

Положим . Тогда будем иметь

и, в силу неравенства , , и периодичности ,

. (60)

Так как обе функции и положительны при и отрицательны при ( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что , мы получим

. (61)

Для имеют место оценки

,

.

Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что

при , (62)

если . Пусть , тогда

.

В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения 3 вытекает, что для любой функции , ,

, (63)

где - постоянная, зависящая только от .

Теорема 7.

Пусть ( ), и

, .

Тогда и

. (64)

Доказательство.

Утверждение теоремы 7 в случае, когда , есть прямое следствие оценки (63) и теоремы 4. Пусть теперь . По теореме 6 , где , , если и . Из функции можно извлечь корень: существует функция такая, что , и, следовательно из (64) при р=2, получим

.

Оценка снизу для вытекает из (58).

Теорема 7 доказана.

Глава II. Атомические разложения функции

в пространстве , пространство ВМО.

§II.1.Пространство , критерий принадлежности функции из

пространству .

Рассмотрим ( ) - пространство функций , являющихся граничными значениями действительных частей функций из пространства :

для п.в. , . (65)

Ранее мы доказали, что

, , (66)

и что - банахово пространство с нормой

; (67)

при этом, если в (65) , то

( ) . (68)

В замечании 3 уже говорилось о том, что при пространство совпадает с пространством и из утверждения 2 следует, что

( ).

Последнее соотношение теряет силу при - нетрудно проверить, что при

,

где

и, следовательно, существует функция , для которой . Таким образом, - собственное подпространство в . Ниже мы дадим критерий принадлежности функций к пространству .

ОпределениеII. 8.

Множество мы будем называть обобщенным интервалом, если - дуга на единичной окружности, т.е. - либо интервал из , либо множество вида

( ). (69)

Точку назовем центром обобщенного интервала , если - центр дуги . Длиной обобщенного интервала естественно назвать величину

Определение II.9.

Действительную функцию назовем атомом, если существует обобщенный интервал такой, что

а) ;

б) ;

в) .

Атомом назовем также функцию , .

Теорема 8.

Для того, чтобы выполнялось включение: , необходимо и достаточно, чтобы функция допускала представление в виде*)

, , (70)

где , , - атомы. При этом

, (71)

где inf берется по всем разложениям вида (70) функции , а с и С - абсолютные константы.

Доказательство.

Достаточность.

Пусть для функции нашлось разложение вида (70). Покажем, что и . Для этого достаточно проверить, что для любого атома имеет место неравенство

. (72)

Пусть - такой обобщенный интервал, что

, , (73)

(случай тривиален). Так как , то нам остается доказать, что

. (74)

Для любого измеримого множества , применяя неравенство Коши и пользуясь утверждением 2 и соотношениями (73), мы находим

, (75)

откуда сразу вытекает (74), в случае, когда .

Допустим теперь, что , и обозначим через обобщенный интервал длины с тем же центром, что и . Из (75) следует, что

.

Нам остается оценить интеграл . Мы воспользуемся очевидным неравенством

, ,

где - длина наименьшей из двух дуг единичной окружности, соединяющих точки и , а - абсолютная постоянная. В силу (73) при мы имеем

где - центр обобщенного интервала . Из последнего соотношения, учитывая, что и , мы находим

, , где .

Следовательно,

.

Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны.

Необходимость.

Построим для данной функции разложение (70), для которого

.

Пусть функция с такова, что выполнено соотношение (65), и пусть ( ) - нетангенциальная максимальная функция для , т.е.

, , (75')

где - область, ограниченная двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей