←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5 6
наибольшей дугой окружности , заключенной между точками касания.
Теорема 7 утверждает, что , поэтому нам достаточно найти такое разложение функции на атомы (70), что
, (76)
где постоянные С и ( ) не зависят от . Для построения разложения (70) с условием (76) фиксируем число : пусть, например, . Не ограничивая общности, мы можем считать, что
. (77)
Рассмотрим на отрезке множества
, , (78)
Так как при любом множество точек единичной окружности открыто, то ясно, что при множество (если оно непустое) представимо (единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:
, при , , . (79)
Положим и при
(80)
Так как конечна для п.в. , то из определения функций , , следует, что для п.в. при , а значит, для п.в.
.
Отсюда, учитывая, что , а следовательно из (80), при , мы находим, что
, (81)
где - характеристическая функция множества . Из (81), учитывая, что , мы для функции получаем следующее разложение:
для п.в. , (82)
где
, , (83)
С помощью функций мы и построим нужное нам разложение вида (70). Прежде всего отметим, что при ,
, . (84)
Докажем теперь, что для п.в.
, , (85)
где постоянная зависит только от числа , зафиксированного нами ранее.
Так как из (65) и (75') для п.в. , то из (77) следует, что
.
Пусть теперь , - один из обобщенных интервалов в представлении (79), тогда из (77) и (78) , и если , - концевые точки дуги ( ) , то , а значит,
, . (86)
Из неравенств (86) согласно (75') следует, что
при . (87)
Легко видеть (учитывая, что и ) , что множества и пересекаются в одной точке:
с , . (88)
Пусть , , - отрезок, соединяющий точки и . Так как , , то из непрерывности функции при и неравенства (87) вытекает, что , если , , и . Поэтому , учитывая (88)
, , , . (89)
Рассмотрим область , ограниченную
отрезками и и дугой ;
пусть, далее, для
,
, .
По теореме Коши [5] .
Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги справедливо равенство ,
мы получим
.
Но в силу теорем 4 и 5
, ,
и так как , , то мы находим, что
. (89')
Легко видеть, что отношение ограничено сверху числом, зависящим только от , поэтому
, . (90)
Так как , то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для , , справедливо неравенство (85). Для п.в. неравенство (85) сразу следует из определения функций и множеств .
Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что , а это значит, что функции
, , ,
являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции на атомы:
для п.в. ,
где , .
Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая равенство (77), имеем
.
Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.
§II.2. Линейные ограниченные функционалы на , двойственность и ВМО.
Дадим описание пространства , сопряженного к банахову пространству . Нам потребуется
Определение II.10.
Пространство ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих условию
, (91)
где , а sup берется по всем обобщенным интервалам .
Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой
. (92)
Ясно, что . В то же время ВМО содержит и неограниченные функции. Нетрудно проверить, например, что функция .
Теорема 9.
, т.е.
а) если , и для произвольной функции рассмотреть ее разложение на атомы (по теореме 8):
, , , - атомы*) (93)
и положить
, (94)
то сумма ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на ;
б) произвольный ограниченный линейный функционал на представим в виде (94), где . При этом
(С, С1 - абсолютные постоянные).
Лемма 2.
Пусть функция такова, что для любого обобщенного интервала найдется постоянная , для которой
,
где М не зависит от . Тогда и .
Доказательство.
Для любого обобщенного интервала мы имеем
,
откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.
Следствие 2.
Если , то и
. (95)
Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что
для произвольного обобщенного интервала .
Доказательство теоремы 9.
а) Пусть . Положим
Так как всегда , то, учитывая равенства
, ,
,
мы с помощью следствия 2 находим
, (96)
Допустим, что ( по утверждению 2 и (66)). По теореме 8 существует разложение
, , (97)
где функции являются атомами и , и при
, , . (98)
Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при
.
Отсюда, учитывая, что функции , , по модулю не превосходят суммируемой функции и для п.в. , мы получим, что
.
Таким образом, равенством
, , (99)
определяется ограниченный линейный функционал на всюду плотном в линейном многообразии (плотность функций из в вытекает из теоремы 8, так как для всякой функции частные суммы разложения (70) сходятся к по норме , и, очевидно, принадлежат пространству ). Поэтому функционал можно единственным образом продолжить на все пространство :
, . (100)
Остается доказать, что для любого разложения вида (93) функции ряд (94) сходится и его сумма равна . Последнее сразу следует из (99) и сходимости ряда (93), по норме к :
.
б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на . Тогда из теоремы 4.1 и (67) для любой функции
(С - абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный линейный функционал на , а следовательно, найдется функция с
, (101)
для которой
, . (102)
В частности, равенство (102) выполняется, если - произвольный атом. Докажем, что
. (103)
Пусть I - произвольный обобщенный интервал, - произвольная функция с . Тогда функция
, ,
является атомом и в силу теоремы 8 . Поэтому
.
Подбирая в последнем неравенстве функцию оптимальным образом, мы получим, что для любого обобщенного интервала I
,
что с учетом соотношения доказывает оценку (103).
Таким образом, для значение функционала совпадает со значением ограниченного линейного функционала на элементе (см. (99) и уже доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство плотно в , то, следовательно,
для любой функции .
Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9.
Литература
1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.
3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа — М.: Наука, 1988. —815с.
4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды —М.: Гос. издательство физико-математической литературы, 1961. —936с.
5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций - М.: Наука, 1978. — 415с.
6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.
7. Фихтенгольц
←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5 6