←предыдущая следующая→
1 2
Билет № 3
1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
2. Объем призмы.
1.Три случая расположения прямой и плоскости.
1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку
2.Прямая лежит в плоскости а значит имеет с ней 2 общие точки.
1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т.е. a
2.Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.
Д-во: Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА1В1С1с объемом V и высотой h.
Проведем такую высоту ∆АВС (ВD) кот. разделит этот ∆на 2 ∆. Поскольку ВВ1D разделяют данную призму на 2 призмы , основания кот является прямоугольный ∆ABD и ВСD. Плэтому объем V1 и V2 соответственно равны SABD •h и SВСD •h. По св-ву 20 объемов V=V1+V2 т.е V= SABD •h+ SВСD •h= (SABD+ SВСD) h. Т.о. V=SАВС•h
Д-во Возьмем произвольную прямую призму с высотой h и площадью основания S. Такую
призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению Sh. Теорема доказана.
Рассмотрим случай , когда призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные призмы. Так как Sпол = 1//2 ab то S∆=ab =>V∆= Sh ч.т.д.
Билет №5
1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)
2. Объем цилиндра.
1.Рассмотрим пл α и т А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А прямую, к пл α, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл α .Отрезок АН называется, проведенным из
т А к пл α, a т Н — основанием . Отметим в пл α какую-нибудь т М,отличную от Н, и проведем отр AM.Он называется наклонной, про-вед из т А к пл α , а т М — основанием наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на пл α. Сравним АН и наклон-ную AM: в прямоугольном ∆АМН сторона АН — катет, а сторона AM - гипотенуза, поэтому АН из всех расстояний от т А до различных т пл α наименьшим является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина , проведенного из т А к пл α , называется расстоянием от т A до пл α
Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.
2. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму Fn а в
эту призму впишем цилиндр Рп . Обозначим через V и Vn объемы цилиндров Р и Рп, через rп — радиус цилиндра Рп. Так как объем призмы Fn равен Snh, где Sn- площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn , кот в свою очередь , содержит цилиндр Рп , то Vn из того, что любая пл., проходящая через пр а и т М, проходит через т М, Р и Н .=>, она совпадает с пл ., т.к по аксиоме А1через 3 точки проходит только одна плоскость.
Билет № 13
1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед(формулировка примеры)
2. Теорема о боковой поверхности призмы.
1. Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется прямоугольник, если его боковые ребра к основанию, а основания представляют собой прямоугольники: коробки,
ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD A1B1C1D1.Его основаниями служат прямоугольники ABCD и A1B1C1D1 a боковые ребра АА1, ВВ1, СС1 и DD1 к основаниям. Отсюда=>, что АА1АВ, т. е. боковая граyь АА1В1В — прямоуголь-ник. To же самое можно сказать и об остальных боковых гранях. Та-ким образом, мы обосновали следующее свойство прямоугольного параллелепипеда:
1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники. Полупл, в кот расположены смежные грани парал-
да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами параллелепипеда.
2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.
Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного парал-да. Например, у парал¬-да, можно взять длины ребер АВ, AD и АА1.Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника и поэтому можно сказать, что квадрат диагонали, прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.
2. Теорема: S боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Д-во. Боковая поверхность прямой призмы – прямоугольники , основания которых- стороны основания призмы, а высота равна h призмы. S боковой поверхности призмы равна сумме произведений указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания нв высоту h. Вынося множитель h за скобки получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е его периметр P. Итак Sбок=Ph
S=AB•h+BC•h+CA•h=h(AB+BC+CA)=Ph
Билет № 14
1. Пирамида(формулировка , примеры)
2. Существование прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.
1. Пирамида. Рассмотрим многоугольник А1А2…Аn и точку Р не лежащую в плоскости этого многоугольника . Соединив т. Р отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников РА1А1, РА2А3…,РаnА1.
Многоугольник, составленный из n –угольника А1А2…Аn и n тре-угольников , называется пирамидой. Многоугольник А1А2…Аn назы-вается основанием, а треугольники- боковыми гранями пирамиды. Т.Р называется вершиной пирамиды , а отрезки РА1,РА2, …, РАn – её боковыми ребрами . Пирамиду с основанием А1А2,…Аn и вершиной Р обозначают так: РА1А2…Аn –и называют n –угольной пирамидой. Треугольная пирамида называется тетраэдр. Перпендикуляр , проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания , называют высотой пирамиды (РН) Площадью полной поверхности пирамиды называют сумму площадей её граней , а площадью боковой поверх-ности – сумму площадей её боковых граней
2. Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.
Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит
пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая через т М параллельно пря¬мой а. Теорема доказана.
Билет № 15
1. Цилиндр (формулировки и примеры)
2. Признак параллельных прямых.
1. Цилиндр. Рассмотрим две параллельные плоскости α и β и окружность L с центром О радиуса r , расположенную в пл α. Отрезки прямых заключенных между плоскостями образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности По построению концов образующих расположенных в пл β заполним окружность
L1. Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1 , называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги - основаниями цилиндра . Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра , прямая ОО1- осью цилиндра.
Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Сечение цилиндра , проходящее через ось , представляет собой прямоугольник , две стороны которого образующие , а 2 другие –диаметры оснований цилиндра , такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость ⊥ к оси цилиндра , то сечение является кругом. Цилиндры так же могут быть и наклонными или иметь в своем основании параболу .
Параллельность прямых а и b обозначается так: а||b. Докажем теорему о параллельных прямых.
Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.
Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит
пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Ho в плоскости
←предыдущая следующая→
1 2
|
|