Внеклассная работа по математике в школе

знаменателей дробей , а каждая переменная взята с наибольшим показателем , с которым она входит в знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей равны 3в и 2а . Имеем

На основании этого примера дать ученикам попробовать еще раз справиться с заданием . Желающие могут выйти к доске .

На факультативных занятиях для отстающих учеников , главное дать понять ученику ,что он сможет решить предложенные задания. Даже если поначалу ученику помогают , то впоследствии ему будет важно добиться самостоятельных успехов.

3.3 Общая характеристика школьных математических олимпиад. Примеры задач математических олимпиад для 9, 10, 11 классов

Школьные математические олимпиады представляют собой более массовые соревнования, поскольку они охватывают учеников не одного, а всех параллельных классов школы.

Олимпиады в школе проводятся несколько раз в год с целью повышения интереса учеников к математике, расширения их мировоззрения, выявления наиболее способных учеников, подведения итогов работы математических кружков или клуба юных математиков, повышение общего уровня преподавания математики в средних и старших классах.

Примеры олимпиадных задач Новосибирска 1998 года , решение и комментарии к этим задачам.

9 класс

1. На острове Чунга-Чанга 80% мужчин женаты, а 40% женщин -

замужем. Какая доля населения этого острова состоит в браке?

2. Можно ли треугольник с тремя различными сторонами разрезать на два равных треугольника?

3. В таблице 3 *3 расставлены положительные числа. Произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате 2*2 равно 4. Какое число стоит в центре квадрата?

4. Доказать, что число 2001*20033 - 2002*20023 является кубом натурального числа.

5. В пробирке находится 2001 красная амёба, 2002 синие амёбы и 2003 зелёные амёбы. Две амёбы двух разных цветов могут сливаться в одну амёбу третьего цвета (красная и зелёная - в синюю, красная и синяя - в зелёную, зелёная и синяя - в красную). После нескольких таких слияний в пробирке осталась ровно одна амёба. Каков её цвет?

10 класс

1. Бизнесмен Вася купил 2 автомобиля, заплатив в сумме 36000$, и перепродал их, получив 25% прибыли. При перепродаже первого автомобиля прибыль составила 50%, а при перепродаже второго - 12,5%. Но о второй сделке Вася не сообщил в налоговую инспекцию, и в конце года с него взяли штраф, равный половине первоначальной стоимости второго автомобиля. Сколько долларов потерял Вася в результате данной сделки?

2. В таблице расставлены числа. В каждой строке и в каждом столбце произведение чисел равно 1. В каждом квадрате произведение чисел равно 2. Найти произведение чисел, стоящих в двух верхних клетках третьего столбца.

3. Докажите, что число 516 + 214 - составное число.

4. Дана окружность с центром в точке О1. Окружность с центром О2 проходит через точку О1. А и В - точки пересечения этих окружностей. Касательная к окружности с центром О2, проходящая через точку В пересекает первую окружность в точке С. Докажите, что AB=BC.

5. По кругу сидят 2002 хамелеона, которые могут менять цвет в следующем порядке: синий, оранжевый, фиолетовый, зелёный. Если прикоснуться к одному из них, то он меняет цвет на следующий по порядку, и одновременно с ним меняют свой цвет трое следующих за ним по часовой стрелке. В начальный момент времени все хамелеоны - синие. Можно ли добиться того, чтобы все хамелеоны стали зелёными?

11 класс

1. Доказать, что для всех положительных чисел a, b, c, d выполняется неравенство

.

2. Вычислить:

3. В некоторой компании мальчиков больше, чем девочек. Если каждый мальчик купит батончик "Snickers", а каждая девочка - батончик "Mars", то они истратят на 1 рубль меньше, чем если бы каждый мальчик купил "Mars", а девочка "Snickers". На сколько мальчиков больше чем девочек?

4. В параллелограмме ABCD AD+BC=BD. На стороне AB взята точка K, а на стороне CD - точка M так, что AKCM - ромб. Найти отношение AK:KB.

5. В каждой вершине тетраэдра находится лампочка, которая может гореть поочерёдно красным, желтым, зелёным цветом. На каждой грани тетраэдра находится кнопка, при нажатии на которую все лампочки в вершинах, принадлежащих этой грани, меняют своё состояние на следующее. Можно ли путём нескольких нажатий добиться того, чтобы все лампочки горели жёлтым цветом, если изначально все они горели красным цветом.

РЕШЕНИЯ. 9 КЛАСС.

1. Количество мужчин и женщин, состоящих в браке, - одно и то же. Обозначим его . Тогда мужчин на острове - , женщин - . Общее число жителей - .

Состоящих в браке - . Тогда искомая величина: .

2. Пусть разрезан на два равных треугольника (см. рис). Тогда в должен быть равен одному из углов . Но не может равняться или , так как внешний угол треугольника всегда больше внутреннего угла, не смежного с ним. Если же , то , значит является высотой. Так как в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, то , что противоречит тому, что - разносторонний. Следовательно, разносторонний треугольник нельзя разрезать на два равных треугольника.

A B C

D E F

G H I

3. (ABDE)(BCEF)=(ABC)(DEF)(BE). Учитывая, что ABDE=BCEF=4, ABC=DEF=1, получаем равенство: 16=BE. Аналогично получим, что EH=16. Перемножаем полученные равенства: (BE)(EH)=(BEH)E. 1616=E.

Ответ: E=256.

4. Обозначим 2001= . Тогда данное нам числовое выражение запишется в виде: .

Тогда .

5. Пусть Nk, Ns и Nz - количество красных, синих и зелёных амёб, соответственно. В начальный момент времени , - нечётны, - чётно. Нетрудно проверить, что при любом слиянии эти чётности сохраняются. Поэтому в конце концов , . Ответ: последняя амёба - синяя.

РЕШЕНИЯ. 10 КЛАСС.

1. Пусть x$ - стоимость первого автомобиля, y$ - стоимость второго автомобиля. При продаже Вася получил 9000$ чистой прибыли. Составляем систему уравнений:

.

Решив систему, найдём . Тогда сумма штрафа составляет 12000$. 12000 - 9000=3000.

Таким образом, Вася потерял 3000$.

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8

2. (A1A2A3B1B2B3C1C2C3) (A3A4A5B3B4B5C3C4C5) (A6A7A8B6B7B8C6C7C8)=(A1A2A3A4A5A6A7A8)

 (B1B2B3B4B5B6B7B8) (C1C2C3C4C5C6C7C8)(A3B3C3).

Т.е. A3B3C3=8. Аналогично - C1C2C3=8.

Произведение чисел в квадрате 66, стоящем на пересечении 3-8 столбцов и 3-8 строк равно 16, так как этот квадрат разбивается на 4 квадрата 33. В оставшемся уголке (на рисунке он заштрихован) произведение чисел равно 1/16, так как во всей таблице произведение равно 1. Но произведение чисел в закрашенном уголке можно также получить, перемножив числа первой и второй строк, первого и второго столбца и разделив всё это на A1A2B1B2. Отсюда A1A2B1B2=16.

(A1A2B1B2)( A3B3C3)( C1C2C3)=(A1A2A3B1B2B3C1C2C3)C3.

1688=2С3. Откуда С3=512, A3B3=8/512=1/64.

Ответ: 1/64.

3.

.

4. Пусть вписанный в первую окружность . Соответствующий ему центральный угол . Но вписан во вторую окружность, поэтому . - это угол между касательной BC и секущей AB, поэтому . Тогда по теореме о сумме углов треугольника, . Значит, - равнобедренный. AB=BC, что и требовалось доказать.

5. Каждому цвету поставим в соответствие один из остатков по модулю 4. Синий - 0, оранжевый - 1, фиолетовый - 2, зелёный - 3. Вместо хамелеонов будем рассматривать 2002 целых числа, стоящие по кругу. Операция смены цвета в новой трактовке будет равносильна прибавлению 1 к четырём последовательно стоящим числам. (При этом, если будет получаться число, большее 3, то оно заменяется на остаток от деления на 4.) В начальный момент времени по кругу стоят нули и нам требуется узнать, можно ли путём указанной операции сделать все числа, равные трём.

В начальный момент времени сумма равна 0 и на каждом шаге она может изменяться лишь на величину, кратную четырём, т.е. сумма всех чисел на каждом шаге будет делиться на 4. Поэтому 2002 тройки (которые в сумме дают 6006=41501+2) получить нельзя.

РЕШЕНИЯ. 11 КЛАСС.

1. Перенесём все слагаемые в левую часть.

.

2. ,

,

,

………..

.

.

3. Пусть x - количество мальчиков, y - количество девочек. - стоимость сникерса, - стоимость марса (в копейках). Составим уравнение.

.

.

.

. .

- целое положительное число (т.к. по условию x>y), b и a - также целые числа, так как копейка - самая мелкая денежная единица. Следовательно (b-a) - это положительный делитель 100. Возможные варианты: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100. Такие же варианты будут и для разности x-y.

Ответ: мальчиков может быть больше, чем девочек, на 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100.

Пусть O - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, она же является точкой пересечения диагоналей ромба AKCM.