←предыдущая следующая→
1 2
Государственный университет управления
Институт заочного обучения
Специальность – менеджмент
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине: Высшая математика.
Вариант № 1.
Выполнил студент Ганин Д.Ю.
Студенческий билет № 1211
Группа № УП4-1-98/2
Москва, 1999 г.
Содержание
Часть I. 3
Задание №2. Вопрос №9. 3
Задание №3. Вопрос №1. 3
Задание №12. Вопрос №9. 5
Задание №13. Вопрос №2. 5
Задание №18. Вопрос №9 6
Часть II. 9
Задание №8. Вопрос №8. 9
Задание №12. Вопрос №9. 10
Задание №14. Вопрос №2. 10
Задание №15. Вопрос №6. 11
Задание №18. Вопрос №9. 12
Дополнительно Часть I. 13
Задание №7. Вопрос №1. 13
Задание №9. Вопрос №8. 13
Задание №11. Вопрос №6. 14
Задание №15. Вопрос №1. 15
Дополнительно Часть II. 15
Задание №7. Вопрос №1. 15
Задание №9. Вопрос №8. 16
Задание №11. Вопрос №6. 18
Задание №15. Вопрос №1. 18
Часть I.
Задание №2. Вопрос №9.
В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.
Решение:
машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте.
машин с водителями ежедневно уходят в рейс.
водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
Ответ: Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь свободных дней.
Задание №3. Вопрос №1.
Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P) и найдите координаты точки равновесия, если , .
Решение:
Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:
С осью OP (Q=0): С осью OQ (P=0):
Для Q=QS(P): Для Q=QD(P):
Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).
Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:
, из этой системы получаем:
, тогда , значит координаты т.M .
Ответ: Координаты точки равновесия равны ,
Задание №12. Вопрос №9.
Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:
Решение:
Ответ: Производная заданной функции равна
Задание №13. Вопрос №2.
Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
числа:
Решение:
Ответ: Приближенное значение заданного числа равно 1,975.
Задание №18. Вопрос №9
Исследуйте функцию и постройте ее график:
Решение:
1. Область определения данной функции: .
2. Найдем точки пересечения с осями координат:
С осью OY :
С осью OX :
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.
Точка пересечения:
Точки пересечения: ,
3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.
4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: , где:
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид: , т.е. - уравнение горизонтальной асимптоты.
5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную:
Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е. :
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , отсюда , следовательно , значит точка - точка экстремума функции.
На участке производная > 0, значит, при , заданная функция возрастает.
На участке производная < 0, значит, при , заданная функция убывает (рис 2.).
Следовательно - точка максимума заданной функции .
6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную:
Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. :
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , значит , тогда , отсюда
Отсюда , .
На участке производная >0, значит это участок вогнутости графика функции.
На участке производная >0,
значит это тоже участок вогнутости графика функции.
Следовательно, при график заданной функции является вогнутым.
На участке производная 0, то экстремум есть, а т.к. < 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска и , достигается максимальная прибыль равная:
Ответ: и достигается при объемах выпуска и .
Задание №12. Вопрос №9.
Вычислить неопределенный интеграл:
Решение:
Ответ:
Задание №14. Вопрос №2.
Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) .
Решение:
Ответ: Данный несобственный интеграл – расходящийся.
Задание №15. Вопрос №6.
Решить уравнение
Решение:
. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение . Представим , как , тогда
Ответ: Решением данного уравнения является .
Задание №18. Вопрос №9.
Найти общее решение уравнения:
Решение:
Найдем корни характеристического уравнения: , тогда , следовательно , , тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:
,
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений и , возьмем , , тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
Представим правую часть уравнения, как и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:
. Имеем , , тогда т.к. - многочлен второй степени, то общий вид правой части: . Найдем частные решения:
, ,
Сравним коэффициенты при слева и справа, найдем , решив систему:
, отсюда .
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид: .
Ответ: .
Дополнительно Часть I.
Задание №7. Вопрос №1.
Найти предел: .
Решение:
.
Ответ: Заданный предел равен .
Задание №9. Вопрос №8.
Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:
.
Решение:
1. Область определения данной функции: .
2. Т.к. точка не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к. и , следовательно, уравнение – уравнение вертикальной асимптоты.
3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: , где:
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной
асимптоты имеет вид: .
Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты с осями
координат:
С осью OX: точка ,
с осью OY: точка
Ответ: и – уравнения асимптот заданной функции.
Задание №11. Вопрос №6.
Исходя из определения производной, докажите: .
Решение:
Т.к. по определению производная функции в точке вычисляется по формуле , тогда приращение в точке : .
Следовательно .
Ответ: .
Задание
←предыдущая следующая→
1 2