Вариант № 12
« Дифференциальные уравнения»
Найти общий интеграл диф. ур-я
• 1) это ур-е с разделяющимеся переменными
разделив обе части уравнения на x и сделав преобразования получим:
• 2)
Используем подстановку , тогда
Окончательно, получим (учитывая, что t=y/x)
• 3)
Выполним перенос системы координат , решив Ур-е в «новой» системе координат: ,где
Учитывая, что
Получим диф. Ур-е вида
Подстановка
Дает решение вида
Выполнив преобразования получим, окончательно
• 4) ,
Т. к. p=q , то это Ур-е в полных дифференциалах
Пользуясь общим правилом нахождения полного дифференциала, получим
Откуда
Найти решение задачи Коши:
• 5)
Решение Ур-я такого типа следует искать в виде:
Подстановка в исходное Ур-е даст:
Возмем интеграл по частям
Konst найдем из начального условия, т.е.
Решение
• 6)
Помня, что ,
Подстановка в исходное Ур-е дает
Общее Решение:
7)
Найти общее решение д.у.
• 8)
• Найти решение задачи Лоши
9)
Решим однородное Ур-е (правая часть =0)
Используя метод «Вариации постоянных» получим
Таким образом, решение данного д.ур-я имеет вид:
Откуда,
• 10) М. Т., притягиваемая к неподвиж. Центру О силой F1,прямо пропорциональной расстоянию от М.Т. до ц. О, совершает колебательное движение с периодом Т=2п. Сила F2 сопротивления среды прямо пропорциональна ( с тем же коэф.пропорц-ти) скорости. Во сколько n раз уменьшается амплитуда А после каждого периода колебаний?
Решение: Пусть X(t)=ASin(wt) –ур-е движения М. Т. , где t-время,
А=А(t)- амплитуда колебаний.
Тогда F1=kX, где к-некоторый коэффициент пропорциональности;
Сила F2 , согласно условию, уравновешивает силу F1, т. е.
F1=F2.
Где F2=kV,V- скорость М.Т. (V=dX/dt)
Откуда,
Ч/З период времени Т амплитуда изменится
Найти общее решение д.у.
• 11)
Решаем изначально однородное Ур-е (т.е. без правой части), соответствующее ему характеристическое ур-е:
.
Первый корень без труда может быть подобран,
Далее, разделив многочлен на получим:
Поскольку тут один корень (-1) имеет кратность, равную 2, то решение однородного Ур-я имеет вид:
Общее решение д.у. где частное решение д. у. ищем в соответствии с правой частью уравнения, а именно:
Подстановка в уравнение дает:
Решение:
Указать вид частного решения для д.у. с постоянными коэффициентами 3-го порядка для различных правых частей и корней характеристического ур-я ( 1/7; -1/7+2i; -1/7-2i)
• 12)
Пусть F(x) вид частного решения, соответствующей правой части f(x)
Где многочлены 3-ей степени, т. е. такого вида
Частное решение будет складывается из двух составляющих 1) частного решения, соответствующего паре комплексно сопряженных корней характеристического Ур-я и 2) частного решения, соответствующего многочлену 3-ей степени, т.е.
Где Р(х)- многочлен 3-ей степени.
Решить систему д.у.:
• 12)
Из Ур-я (1) вычтем 3 ур-я (2),а затем из Ур-я (2) выразим dx/dt и подставим в (1). Вот, что будет:
,
Где точки (*) обозначают дифференцирование по t.
Типовые и курсовые по Высшей математике, консультации.
Запись CD (аудио КД, МР-3,фильмы MPEG-4,Софт-коллекции) Недорого
(3512)95-26-32 c 21 до 24
dansis@chel.ru