Пример: Транспортная логистика
Я ищу:
На главную  |  Добавить в избранное  

Математика /

Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью

←предыдущая  следующая→
1 2 3 4 5 6 



Скачать реферат


Содержание.

Глава I

Введение. 2

§1. Актуальность темы. 2

§2. Обзор работ. 6

Глава II

Определения решения дифференциального уравнения с раз-рывной правой частью. 8

§1. Обоснование необходимости обобщения понятия

решения. 8

§2. Определения решения. 10

Глава III

Исследование устойчивости для дифференциальных

уравнений с разрывными правыми частями. 23

§1. Определение устойчивости. Метод функций Ляпунова. 23

§2. Некоторые сведения теории дифференциальных

уравнений с импульсным воздействием. 27

§3. Связь рассматриваемых теорий. 31

Заключение. 34

Литература. 35

Глава I

Введение.

§1. Актуальность темы.

Актуальность данной темы в значительной степени обусловлена много-численными приложениями теории дифференциальных уравнений с разрыв-ными правыми частями.

Ряд процессов в механике, электротехнике и в других областях характе-ризуются тем, что правые части дифференциальных уравнений, которые опи-сывают их динамику, претерпевают разрывы в зависимости от текущего со-стояния процесса. Стандартный пример такой динамической системы – ме-ханическая система с сухим трением, когда сила сопротивления может при-нимать одно из двух двух противоположных по знаку значений в зависимо-сти от направления движения. Рассмотрим эту систему подробнее.

Механическая система с сухим трением.

Как показано в [3] можно установить зависимость между работой, за-траченной на преодоление сил трения и скоростью движения. Эта зависи-мость получается совершенно различной для случая движения груза массы m в жидкости и трения о какую-либо твердую поверхность. В первом случае (случай “жидкого трения”) работа существенно зависит от скорости и при уменьшении скорости уменьшается и может быть сделана как угодно малой. Во втором случае (случай “сухого трения”), наоборот, работа мало зависит от скорости, и как бы медленно ни двигали груз, необходимо затратить на его перемещение некоторую конечную и вполне определенную работу, т.е. сила трения даже при сколь угодно малой скорости имеет конечную величину. Кроме этого, учитывая, что сила трения всегда направлена в сторону, проти-воположную скорости, и, значит при переходе через нуль сила трения меняет знак на обратный, в случае “жидкого трения” получаем, что сила трения без скачка проходит через нуль и меняет при этом знак:

В случае же “сухого трения” при скорости, стремящейся к нулю, сила тре-ния с двух сторон стремится к разным конечным пределам (в частности про-тивоположным по знаку, но одинаковым по абсолютной величине), т.е. при нуле претерпевает разрыв:

Т.о. математические модели механических систем с кулоновым трением, полученные в рамках механики систем абсолютно твердых тел, представляют собой дифференциальные уравнения, правые части которых являются функ-циями, разрывными относительно обобщенных скоростей (сила трения изме-няется скачкообразно при изменении направления движения).

Ситуация, подобная вышеописанной, особенно часто возникает в систе-мах автоматического управления: стремление повысить быстродействие сис-темы, минимизировать энергетические затраты на управление, ограничить область возможных изменений регулируемых параметров и т.п. приводит к управляющим воздействиям в виде разрывных функций. В частности, такими системами автоматического управления являются системы с переменной стуктурой и со скользящими режимами.

Системы с переменной структурой и со скользящим режимом.

Исследование этих систем в большинстве случаев осуществляется на основе развитого в работе [3] метода фазового пространства. Согласно этому методу, состояние динамической системы –го порядка в любой момент времени полностью определяется значениями координат. Значения этих координат задают некоторую точку в –мерном пространстве, по осям кото-рого отложены координаты системы. Т.о., каждому новому состоянию сис-темы соответствуют все новые и новые точки пространства и изменению со-стояний системы можно соподчинить движение некоторой точки, которая называется изображающей точкой, а пространство – фазовым пространством. При движении системы ее координаты изменяются. И изображающая точка описывает некоторую кривую (выражающую для данного движения зависи-мость скорости от координат), которая называется фазовой траекторией. По виду этих траекторий можно судить о свойствах рассматриваемой динамиче-ской системы, и, более того, изменять их, деформируя фазовые траектории при соответствующем выборе управляющих воздействий. Движение изо-бражающей точки характеризуется вектором фазовой скорости, который на-правлен по касательной к траектории в сторону движения.

Определение систем с переменной структурой дано в работе [13]. Под системами с переменной структурой авторы понимают системы, в которых связи между функциональными элементами меняются тем или иным обра-зом, в отличие от систем с фиксированной структурой, в которых совокуп-ность функциональных элементов и характер связей между ними остаются неизменными.

Одним из режимов работы таких систем является скользящий режим, характеризуемый бесконечной частотой переключения функции управления. Скользящий режим возникает, если в окрестности поверхности, на которой функция управления претерпевает разрывы, фазовые траектории направлены навстречу друг другу

После попадания на поверхность разрыва изображающая точка не может в течение любого даже сколь угодно малого, но конечного интервала време-ни двигаться по любой из траекторий, примыкающих к этой поверхности (при любом смещении всегда возникает движение, возвращающее изобра-жающую точку на поверхность разрыва).

В [7] рассматривается еще случай, когда решение наоборот не может попасть на соответствующий участок поверхности разрыва (при возрастании времени):

Скользящие режимы обладают рядом привлекательных свойств с т.з. по-строения систем автоматического управления (часто скользящие режимы специально вводят в системы). Одна из особенностей, связанная с независи-мостью их от характеристик управляемого объекта и возможностью наделить их желаемыми свойствами, и обуславливает широкое применение скользя-щих движений.

Т.о., существование теории релейных систем, систем переменной струк-туры, реализация законов оптимального управления, механики, электротех-ники приводят к необходимости изучения общей теории диф. уравн. с раз-рывными правыми частями, для которых в общем случае неприемлемы мето-ды классической теории дифференциальных уравнений.

§2. Обзор работ по теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями.

Различным вопросам этой теории посвящены отдельные параграфы и главы в книгах [3,4,7,9], а также большое число журнальных статей.

Систематическое изложение этой теории имеется в статьях А.Ф. Фи-липпова. В [16] Филиппов рассмотрел диф. уравн. с однозначными разрыв-ными правыми частями, ввел понятие решения и доказал основные теоремы качественной теории.

Различные направления исследования релейных диф. уравн. , т.е. таких уравнений, у которых правая часть не является ненпрерывной по x функций рассмотрены в статье [5].

Теория систем автоматического управления, описываемых дифферен-циальными уравнениями с разрывными правыми частями рассматривается в книгах [13, 14, 15]. В работе С.В. Емельянова [13] излагается один из разде-лов теории автоматичесеого управления – теория систем с переменной структурой, принадлежащих к классу нелинейных систем автоматического регулирования, в которых широко используются скользящие режимы. Сколь-зящие режимы релейных систем изучались Ю.И Неймарком [10], Ю.И. Али-мовым [2] и др. Но появление систем с переменной структурой породило интерес к теории скользящих режимов не только в релейных системах обще-го вида [14, 15]. Содержание последних книг составляют проблемы, связан-ные с исследованием систем с разрывными управляющими воздействиями, в [14] приводится математический аппарат для исследования разрывных

←предыдущая  следующая→
1 2 3 4 5 6 



Copyright © 2005—2007 «Mark5»