←предыдущая следующая→
1 2
Пермский Государственный
Технический Университет
Кафедра МКМК
КУРСОВАЯ РАБОТА
Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием. Анализ НДС вблизи отверстия.
Исполнитель:
студент группы ПКМ-96
Шардаков А.П.
Проверил:
Ташкинов А.А.
1999 г.
Оглавление
1. Общетеоретическая часть............................................................................3
2. Прикладная часть
2.1 Физическая постановка задачи..................................................................9
2.2 Упругие свойства материала.....................................................................9
2.3 Математическая постановка задачи........................................................10
2.4 Аналитическое решение...........................................................................10
2.5 Иллюстрация распределения напряжений.............................................11
Используемая литература................................................................................12
Приложение 1. (Расчетная схема на MathCad 7.0 )......................................13
Приложение 2. (График распределения напряжений)..................................14
1. Общетеоретическая часть
Рассмотрим бесконечную пластинку с некоторым отверстием в центре. Центр отверстия примем за начало координат, а оси х1, х2 направим по главным направлениям упругости. На пластинку действуют некоторые распределенные нагрузки p1, p2 вдоль соответствующих осей.
Общая система уравнение теории упругости выглядит следующим образом:
(1)
Уравнения равновесия применительно к рассматриваемой задаче, т.е. когда напряжения зависят только от двух координат, запишутся так:
(2)
В нашей задаче искомыми являются шесть функций компонент тензора напряжений . Но в уравнения равновесия (2) не входит , тем самым этой функции определяется особая роль. Для простоты последующих математических выкладок примем следующие предположения. Пусть для f1(x1,x2) и f2(x1,x2) существует потенциал, т.е. такая функция U(x1,x2) для которой выполняются условия:
(3)
Так как силы f1 и f2 задаются при постановки задачи, то потенциал U так же известная функция. Подставляя (3) в (2) получим:
(4)
Введем также еще две функции F(x1,x2) и (x1,x2), которые называются функциями напряжений и вводятся следующим образом:
Нетрудно видеть, что при подстановки всех этих формул в систему (4) все три уравнения будут равны нулю. Теперь если мы найдем функции F(x1,x2) и (x1,x2), то будут найдены и функции компонент тензора напряжений, кроме компоненты .
Для упрощения дальнейших выкладок сделаем следующие преобразования. Так как тензор модулей упругости Сijmn представляет собой матрицу 6х6 из которых 21 компонента независимая, то для тензора напряжений и тензора деформаций вводится матрица столбец:
Тогда уравнения Коши запишутся следующим образом:
а через напряжения компоненты деформации определяются по закону Гука:
(5)
где aij - компоненты матрицы независимых постоянных тензора упругих податливостей Dijmn.
Обозначим как неизвестную функцию D(x1,x2), тогда из закона Гука следует, что:
а выражение для будет равно:
Теперь введем приведенные коэффициенты деформации , для которых имеет место выражение:
, где i,j=1..6 (6)
Подставим выражение для в обобщенный закон Гука, тогда с учетом приведенных коэффициентов деформаций эти выражения примут вид:
Подставляя эти выражения в уравнения Коши получим следующую систему:
(7)
Уравнения системы (7) включают в себя и уравнения Коши и закон Гука. В этой системе величины - константы, величины и D зависят от двух координат x1 и x2, а перемещения ui - функции трех координат.
Система (7) является системой в частных производных относительно ui и решается последовательным интегрированием уравнений. Интегрирование следует проводить в следующем порядке - сначала необходимо проинтегрировать 3, 4 и 5 уравнения. После интегрирования 3-го уравнения получим:
(8)
Подставляя u3 в 4-ое уравнение и интегрируя его получим:
(9)
Аналогично с 5-ым уравнением:
(10)
Подставляя полученные перемещения в неиспользованные соотношения уравнений Коши, и приравнивая к 0 сомножители при степенях x3, получим:
(11)
(12)
(13)
Исходя из того, что:
функция D будет иметь вид:
(14)
Тогда с учетом системы (7) получим:
(15)
Исключая V1, U1, W1 ( путем дифференцирования, сложения и вычитания) получим:
(16)
(17)
Подставляя в уравнения (16) и (17) выведенные нами выражения для напряжений через функции F(x1,x2) и (x1,x2) и группируя получим:
(18)
где L4, L3, L2 - дифференциальные операторы в частных производных 4-го, 3-го и 2-го порядков:
Уравнения (18) представляют собой систему 2-х дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнения - линейные, неоднородные, с постоянными коэффициентами.
Общее решение системы (18) для функций напряжения можно представить в виде:
F0 и 0 - общее решение соответствующей однородной системы:
(19)
F* и * - частные решения неоднородной системы уравнений (18). Частные решения зависят от правых частей уравнений и если эти правые части несложны, то и частные решения обычно описать нетрудно.
Чтобы получить общее решение однородной системы (19) исключим из нее 0:
(20)
В силу симметрии L их можно менять местами:
(21)
Таким образом, мы получили линейное дифференциальное уравнение 6-го порядка для функции F. Аналогично находим уравнение для :
(22)
Оказалось, что F0 и 0 должны удовлетворять одинаковым условиям. Оператор 6-го порядка можно разложить на 6-ть линейных операторов 1-ого порядка Dk и уравнение (21) представить в виде:
(23)
Из теории диф. уравнений и условия что функция F0 зависит только от x1 и x2 для Dk имеем:
(24)
где - это корни алгебраического (характеристического) уравнения шестой степени, соответствующего дифференциальному уравнению (21).
Интегрирование линейного уравнения 6-го порядка можно свести к последовательному интегрированию шести уравнений первого порядка. В результате получим следующие общие выражения:
Если среди корней характеристического уравнения есть кратные, задача упрощается, однако решение системы (19) может быть найдено в любом случае исходя из следующих рассуждений.
Любые 6 вещественных чисел можно принять в качестве значений независимых компонент тензора напряжений в данной точке упругого анизотропного тела. Удельная потенциальная энергия деформации есть величина положительная при любых вещественных и не равных нулю значениях компонент тензора напряжений в данной точке. Исходя из этих предположений можно доказать теорему, согласно которой алгебраическое характеристическое уравнение системы (21), не имеет вещественных корней. Поэтому можно утверждать, что числа в общем решении системы (19), а также в условиях связи всегда комплексные или чисто мнимые.
Наряду с комплексными параметрами вводят и систему комплексных переменных:
Введение комплексных переменных позволяет использовать при аналитическом решении рассматриваемой задачи об упругом равновесии анизотропного тела математический аппарат и методы функций комплексных переменных. Эти методы, применительно к данной задаче являются очень эффективными и позволяют получить аналитическое решение многих плоских задач теории упругости анизотропного тела.
2. Прикладная часть
2.1 Физическая постановка задачи.
Рассмотрим бесконечную пластинку из ортотропного материала с эллиптическим отверстием в центре. Направление главных осей эллипса совпадает с главными осями упругости материала, усилия приложены на бесконечности вдоль главных осей.
Введем следующие
←предыдущая следующая→
1 2