З Е Н О Н Э Л Е Й С К И Й , Е Г О П А Р А Д О К С Ы
И П О Н Я Т И Е Б Е С К О Н Ч Н О С Т И
Пифагорийская школа. Пифагор основал братство религилзного, философ-ского и научного характера с политическим уклоном. Труды, приписываемые обычно Пифагору, относятся не только к легендарному Пифагору, но вообще к трудам этой школы между 585 и 400 г. до н. э .
В своей космологической концепции Пифагор отказался от монистиче-ской идеи первичной субстанции, породившей всю Вселенную. Его концепция дуалистична, и в напряжении между двумя противоположными принципами - ограниченное - неограниченное, нечетное - четное, единое - множественное, прямое - кривое, квадратное - продолговатое - он видел причину всякого раз-вития. Мало интересуясь материальными элементами, которые могли бы дать представление о генезисе различных составных частей Вселенной, Пифагор, увлеченный глубоким религиозным течением, охватившим Грецию того вре-мени, стремился дать глобальную картину космоса в целом. Основу всего он видел в числе, о чем свидетельствует его девиз: “Все есть число”.
Наиболее важным среди приписываемых пифагорейцам открытий было открытие иррационального в виде несоизмеримых отрезков прямой линии. Возможно, что оно было сделано в связи с исследованием геометрического среднего а:в = в:с, величиной, которая интересовала пифагорейцев и служила символом аристократии. Чему равно геометрическое среднее единицы и двой-ки, двух священных символов? Это вело к изучению отношения сторон и диа-гонали квадрата, и было обнаружено, что такое отношение не выражается “числом”, то есть тем, что мы теперь называем рациональным числом (целым числом или дробью), а только такие числа допускались пифагорейской ариф-метикой. Другими словами, иррациональные числа были открыты, когда стало ясно, что некоторые отношения нельзя выразить с помощью целых чисел. Это открытие ознаменовало крушение пифагорейской точки зрения о представимо-сти мира с помощью целых чисел и вызвало первый кризис в истории матема-тики.
Элеаты. Влияние Элейской школы (V в. до н.э.) на формирование абст-рактной научной мысли огромно. Основатель этой школы, Парменид, был пер-вым, кто строго различал чувственное и умопостигаемое, что привело к неиз-бежной конфронтации между опытом и требованиям разума. именно поэтому элеаты не приняли пифагорейскую доктрину, ставящую в соответствие всякой вещи число. если дискретные объекты можно представить целыми числами. то иначе обстоит дело в случае непрерывных величин, таких, как длины, площа-ди, объемы и.т.д., которые в общем случае можно интерпретировать как дис-кретные наборы единиц, лишь если допускать существование бесконечного числа очень малых элементов, из которых эти объекты состоят. В качестве ре-акции на эту последнюю концепцию Зенон Элейский (род. между 495 и 480 гг. до н.э.) сформулировал четыре парадокса, иллюстрирующих невозможность бесконечной делимости и всякого движения, если мыслить пространство и время состоящими из неделимых частей. Общая цель его аргументов показать те нелепости, к которым приходят, когда пытаются получить непрерывные ве-личины из бесконечно малых частиц, взятых в бесконечном множестве.
Исчисление бесконечно малых ведет свое начало от интуитивного пред-ставления греков о непрерывности, математической бесконечности и пределе, а также от тех трудностей, с которыми они столкнулись при попытках явно оп-ределить эти понятия. Эти три понятия были корректно определены лишь в XIX в., когда математики захотели систематизировать достижения своей нау-ки, и им пришлось пересмотреть основания, чтобы подвести под математиче-ское здание прочный фундамент.
Числа и геометрические величины. Мы видели, что пифагорейцы уподоб-ляли числа геометрическим точкам: единицу - одной точке, некоторое другое число - группе точек, образующих некоторую геометрическую фигуру. Каждое число у них было дискретным набором единиц; таким образом, пифагорейская арифметика ограничивалась изучением положительных целых чисел и отноше-ний целых чисел, которые не считались числами.
Всякая непрерывная величина - линия, поверхность, тело - могла быть отождествлена с некоторым соответствующим ей числом - “количест-вом”(длина, площадь, объем). Подобно тому как единица была общей мерой целых чисел, величины должны были иметь общую единицу измерения - быть с о и з м е р и м ы м и - и каждая величина отождествлялась с целым числом составляющих ее единиц. Эта попытка отождествить целые числа с непрерыв-ными величинами, интерпретировать непрерывное в терминах дискретного ни к чему не привела и быстро провалилась. Решающую роль, как уже говорилось, в этом сыграло открытие иррациональных чисел.В квадрате со стороной 1 от-ношение диагонали к стороне равно ; оно не выражается в виде отношений целых чисел и, значит, вообще не имеет статуса в пифагорейской арифметике. Сторона и диагональ не имеют общей единицы измерения и называются н е с о и з м е р и м ы м и. Взаимное соответствие между величиной и числом, знако-мое пифагорейцам, оказалось нарушенным. Если каждому числу соответствует некая длина, то какие числа нужно сопоставить несоизмеримым величинам?
Парадоксы Зенона и понятие бесконечности. Именно в связи с открытием несоизмеримых величин в греческую математику проникло понятие бесконеч-ности. В своих поисках общей единицы измерения для всех величин греческие геометры могли бы рассмотреть бесконечно делимые величины, но идея бес-конечности приводила их в глубокое смятение. Если даже рассуждения о бес-конечном проходили успешно, греки в своих математических теориях всегда пытались его обойти и исключить. Их затруднения перед явным выражением абстрактных понятий бесконечного и непрерывного,противоположных поня-тиям конечного и дискретного, ярко проявились в парадоксах Зенона Элейско-го.
Доводами Зенона были “апории” (тупики) ; они должны были продемон-стрировать, что оба предположения заводят в тупик. Эти парадоксы известны под названием А х и л л е с, С т р е л а, Д и х о т о м и я (деление на два) и С т а д и о н. Они сформулированы так, чтобы подчеркнуть противоречия в поня-тиях движения и времени, но это вовсе не попытка разрешить такие противо-речия.
Апория “Ахилл и черепаха” противостоит идее бесконечной делимости пространства и времени. Быстроногий Ахилл соревнуется в беге с черепахой и благородно предоставляет ей фору. Пока он пробежит расстояние, отделяющее его от точки отправления черепахи, последняя проползет дальше; расстояние между Ахиллом и черепахой сократилось, но черепаха сохраняет преимущест-во. Пока Ахилл пробежит расстояние, отделяющее его от черепахи, черепаха снова проползет еще немного вперед, и т. д. Если пространство бесконечно де-лимо , Ахилл никогда не сможет догнать черепаху. Этот парадокс построен на трудности суммирования бесконечного числа все более малых величин и не-возможности интуитивно представить себе, что эта сумма равняется конечной величине.
Еще более явным этот момент становится в апории “Дихотомия”: прежде чем пройти некоторый отрезок, движущееся тело вначале должно пройти по-ловину этого отрезка, затем половину половины, и так далее до бесконечности. Зенон мысленно строит ряд 1/2 + (1/2)2 + (1/2)3 + ..., сумма которого равна 1 , но ему не удается интуитивно постичь содержание этого понятия. Современ-ные представления о пределе и сходимости ряда позволяют утверждать, что начиная с некоторого момента расстояние между Ахиллом и черепахой станет меньше любого заданного числа , выбранного сколь угодно малым.
Парадокс “Стрела” основан на предположении, что пространство и время составлены из неделимых элементов, скажем “точек” и “моментов”. В некий “момент” своего полета стрела находится в некоторой “точке” пространства в неподвижном состоянии. Поскольку это верно в каждый момент ее полета, стрела вообще не может находиться в движении.
Здесь затронут вопрос о мгновенной скорости. Какое значение следует придать отношению x/ t пройденного расстояния x к интервалу времени t , когда величина t становится очень малой ? Неспособные представить се-бе минимум, отличный от нуля, древние придали ему значение ноль. Ныне при помощи понятия предела правильный ответ находится немедленно : мгновен-ная скорость есть предел отношения x/ t при t, стремящемся к нулю
Таким образом,все эти парадоксы связаны с понятием предела; оно стало центральным понятием исчисления бесконечно малых.
Парадоксы Зенона известны нам благодаря Аристотелю,который привел их в своей “Физике”, чтобы подвергнуть критике. Он различает бесконечность относительно сложения и бесконечность относительно деления и устанавлива-ет, что континуум бесконечно делим. Время тоже бесконечно делимо, и в ко-нечный интервал времени можно пройти бесконечно делимое расстояние. Па-радокс “Стрела”, который “является следствием предположения, что время со-ставлено из моментов”, становится нелепым, если принять, что время беско-нечно делимо.
Список литературы
1. Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средние века. М.-Л.,1932
2. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.,Наука,1978
3. Богомолов С.А. Актуальная бесконечность. М.-Л.,1934