Интеграл Пуассона.
Пусть x , g(x) , xR1 –суммируемые на -, , 2- периодические, ком-плекснозначные функции. Через fg(x) будем обозначать свертку
fg(x) = dt
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на -, и
cn ( fg ) = cn ( f ) cn ( g ) , n = 0, 1 , 2 , ... ( 1 )
где cn ( f ) -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
cn = -i n tdt , n = 0,
Пусть L1 (-) . Рассмотрим при r функцию
r ( x ) = n ( f ) rn ei n x , x , ( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фик-сированного r , r . Коэффициенты Фурье функции r х равны
cn ( fr ) = cn r n , n = 0 , , а это согласно (1) значит, что r x можно представить в виде свертки :
r ( x ) = , ( 3 )
где
, t ( 4 )
Функция двух переменных Рr (t) , 0 r , t , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .
Следовательно,
Pr ( t ) = , 0r , t . ( 5 )
Если L ( - ) действительная функция , то , учитывая , что
c-n ( f ) = cn( f ) , n = 0 из соотношения (2) мы получим :
fr ( x ) =
= , ( 6 )
где
F ( z ) = c0 ( f ) + 2 ( z = reix ) ( 7 )
- аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции L1( -, ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = r (eix ) , z = reix , 0 r 1 , x [ -, ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задает-ся формулой
v (z) = Im F (z) = . ( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге z функция и (x) = u (eix) , x, . Тогда
u (z) = ( z = reix , z ) ( 10 ).
Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) дос-таточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
= , z + .
Но тогда
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции r (x) при r , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а) ;
б) ;
в) для любого >0
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) дос-таточно положить в (2) и (3) х .
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -, ) , 1 p < , имеет место равенство
;
если же (x) непрерывна на [ -, ] и (-) = () , то
.
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
( 12 )
Для любой функции , пользуясь нера-венством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим
.
Следовательно,
.
Для данного найдем = () такое, что . То-гда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку
.
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого ти-па", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция
где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение 2.
Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда
для п.в. .
Доказательство.
Покажем, что для и
, ( 13 )
где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
(К - абсолютная константа).
Пусть - такое число, что
.
Тогда для
.
Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что
,
( 14 )
для п.в. .
Согласно (13) при x (-2)
Учитывая , что по теореме 1 для каждого x [- ] и (14)
Из последней оценки получим
при n.
Теорема 2 доказана.
Замечание.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x [- ] , когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности пути.