1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром , то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.
1. Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:
е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
…………………………,
еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
………………………….
Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (nm) равно . Поэтому последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной -сети ни при каком 0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1