Казанский государственный педагогический университет.
Дипломная работа
«К решению нелинейных вариационных задач».
выполнил студент 151 группы математического факультета
Салахутдинов М.Ш.
Научные руководители:
КФМН, доцент
Сайфуллин Э. Г.
Ст. Преподаватель Хисматуллина Н.Г.
Казань -1999.
ВВЕДЕНИЕ
Дипломная работа в целом посвящена методам решения экстремаль¬ных задач. Причем более подробно изложены те классы экстремальных за¬дач, которые не изучаются ни в школьном курсе, ни в педвузовском курсе математики. Однако основная идея их решения лежит на основе построе¬ния математических моделей экономических задач и их решения.
В первой части дипломной работы рассмотрены простейшие задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения, которые решаются элементарным способом - на основе известных неравенств: среднее ариф¬метическое не меньше среднего геометрического. В случае равенства сум¬ма принимает минимальное значение, а произведение достигает макси¬мального. Рассмотрены экстремальные значения квадратного трехчлена, а также решение экстремальных задач с применением производной.
Далее рассматриваются основные понятия о задачах математическо¬го программирования: транспортная задача линейного программирования;
задача о рационе; задача об оптимальном использовании сырья; рассмот¬рены задачи нелинейного программирования (случай нелинейной целевой функции; случай нелинейной целевой функции и нелинейной системы ограничений).
Во второй части приводятся основные понятия о краевых задачах, примеры аналитического решения краевых задач, приближенный метод решения. Приводится сходящийся алгоритм для линейных краевых задач. На основе этого алгоритма при помощи ЭВМ решены цикл различных краевых задач; численные результаты приведены в приложениях.
Третья часть посвящена'одномерным вариационным задачам и мето¬дам их решения.
Преимущество данной работы в методическом плане заключается в том, что вариационная задача, в частном случае, может быть сведена к обычной задаче на отыскание экстремума функции одной переменной, а поэтому позволяет ввести понятие вариационной задачи уже в школьном курсе в классах с углубленным изучением- математики, как новый класс экстремальных задач.
Далее в работе приводится вывод уравнений Эйлера-Лагранжа. На их основе рассмотрены примеры аналитического решения вариационной за¬дачи. Получен алгоритм решения линейных вариационных задач на основе метода конечных разностей, которая не решается аналитическими приема¬ми. На основе этого алгоритма на ЭВМ решены ряд задач, численные ре¬зультаты приведены в приложениях.
Другой метод решения вариационных задач - метод Ритца вводится на простейших примерах, а затем обобщается. Так как оценка точности ме¬тода Ритца не является тривиальной задачей, то сравнительный анализ численных результатов весьма актуален.
Решение рассмотренных задач методом Ритца и другими приемами, сравнительный анализ результатов показывает хорошую достоверность этого метода уже в первом приближении.
В заключении приводится одна новая модификация метода Ритца, при помощи которой вариационная задача сводится к достаточно простой задаче отыскания экстремума функции одной переменной. При этом про¬цедура нахождения корня нелинейного уравнения выполнима лишь при¬ближенными методами. Сравнительный анализ численных результатов по¬казывает надежность метода. Основная ценность этой модификации в ре¬шении существенно нелинейных задач.
В конце третьей части этой работы приводится идея обобщения рас¬смотренных задач на двумерный случай и методом Ритца решается дву¬мерная задача.
I. ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ
1.1. Определение экстремума элементарным способом
Во многих учебных пособиях для 7-х и 8-х классов встречаются не¬равенства, связывающие среднее арифметическое и геометрическое:
^ ^
С-г I
где среднее арифметическое больше или равно среднего геометриче¬ского, что очевидно:
°^-^^Г-=? а^г 2.1/ЙГ»;> ({&')^({Г)^ г^1аГ^ {fS-fT)
Причем равенство возможно только при ft=6. При помощи этого нера¬венства решаются задачи на экстремум:
1) Положительное числоД представить в виде суммы положительных слагаемых х и^-^так, чтобы их произведение х-(/^-х) было наибольшим.
Решение: Найти х?о (/Ьх^при гл-сх-х Е Х (А-У)'3 __ о Пусть о-=Х и &=/4-х. Знаем, что ^^CLX (a-5J-w-axV'aS = а——
При 0-^0
т.е. ?< = А-У — Х= ^/^
2) Найти прямоугольник, имеющий данный периметр Р и наиболь¬шую площадь. Пусть о. и ^ - стороны прямбугольника, тогда .?= 2-(o-t-e) . Площадь ^а-с' принимает максимальное значение как произведение двух положительных чисел при (Х-^о. Тогда J?=
|
|