←предыдущая следующая→
1 2 3
Министерство образования Российской Федерации.
Саратовский Государственный Университет
имени Н.Г.Чернышевского.
кафедра геометрии.
Когомологии де Рама.
Дипломная работа
Студентки 5 курса механико-математического факультета, группы № 522,
****************************************************************
Научный руководитель:
*************
Зав. кафедрой:
*****************
Саратов, 2004
Оглавление.
Введение…………………………………………………………..…..………..3
1. Цепи и интегрирование……………………………………………...…...4
1.1 р-мерные симплексы и их свойства………………………………..4
1.2 Дифференцируемые р-цепи на многообразии и их границы……..7
1.3 Интегралы по р-мерным цепям…………………………………...11
1.4 Теорема Стокса…………………………………………………….13
2. Нульмерные и n-мерные когомологии………………………………...15
2.1 Вычисление когомологий на компактном многообразии………16
2.2 Вычисление когомологий с компактным носителем……………19
Литература……………………………………………………………………24
Введение.
Теория гомологий и когомологий топологических пространств играет важную роль в алгебраической топологии. Для дифференциальных многообразий имеется два варианта теории гомологий и когомологий, а именно гомологии и когомологии с произвольным носителем и компактным носителем. В качестве когомологий многообразия берутся когомологии комплекса дифференциальных форм с произвольными и компактными носителями, а в качестве гомологий берутся гомологии комплекса конечных дифференциальных цепей и комплекса бесконечных дифференциальных цепей. Кроме того, вычисляются нульмерные и n-мерные когомологии обоих типов для n-мерных многообразий.
Данная дипломная работа состоит из двух разделов. Первый раздел состоит из четырех пунктов, второй – из двух.
В пункте 1.1 рассматриваются определение р-мерного симплекса и его свойства. В пункте 1.2 определяется сингулярный р-симплекс на дифференцируемом многообразии, дифференцируемые р-цепи и бесконечные дифференцируемые р-цепи и их границы. В пункте 1.3 рассматриваются р-мерные группы гомологий и когомологий, для конечных и бесконечных цепей, а также – интеграл от р-формы по р-цепям. В пункте 1.4 приводится теорема Стокса.
Раздел два посвящен вычислению когомологий. В пункте 2.1 вычисляются когомологии на компактном многообразии, в пункте 2.2 – когомологии с компактным носителем на многообразии.
Раздел 1. Цепи и интегрирование.
1.1 р-мерные симплексы и их свойства.
Определение: p-мерным симплексом в р-мерном пространстве будем называть объект, определенный неравенствами , .
Рассмотрим примеры р-мерного симплекса.
р=1, тогда получаем - то есть отрезок [0,1]
р=2, тогда , и x1+ x2=1, то есть, получаем треугольник
р=3, тогда , и x1+ x2 +x3=1, то есть, получаем тетраэдр.
Для удобства введем в симплексе так называемые барицентрические координаты, которые определяются следующими формулами
, тогда
Определение. Отображение симплекса в определяется формулой
,
где - барицентрические координаты в .
По определению , то формула (1.1) действительно определяет отображение . Это отображение очевидным образом продолжается до дифференцируемого отображения симплекса в пространстве в пространство .
Рассмотрим образы симплекса в симплексе при данном отображении:
Симплекс задается неравенствами
, и y0+ y1=1.
Тогда при отображении получаем следующее:
Таким образом, получаем следующее отображение
Сравним отображения и при условии . Если - барицентрические координаты в , то
Так как , то можно переписать это в виде:
С другой стороны получаем
Отсюда получаем, что при условии
1.2 Дифференцируемые р-цепи на многообразии и их границы.
Пусть М – n-мерное многообразие класса со счетной базой.
В дальнейшем будем считать дифференцируемое отображение – дифференцируемым отображением класса .
Определение. Дифференцируемым сингулярным р-симплексом на М называется отображение , которое может быть продолжено до дифференцируемого отображения некоторой окрестности симплекса в в многообразие М.
Дифференцируемой р-цепью называется конечная линейная комбинация (с вещественными коэффициентами) сингулярных р-симплексов.
Бесконечной дифференцируемой р-цепью называется бесконечная сумма сингулярных р-симплексов, то есть такое отображение множества дифференцируемых сингулярных р-симплексов в вещественную прямую, что множество (где - множество тех s, для которых ) локально конечно. Другими словами, дифференцируемой р-цепью называется комбинация , где , причем - локально конечно, что значит - окрестность x, такая, что U имеет непустое пересечение с конечным числом .
Лемма:1.1 На компактном многообразии бесконечная сингулярная цепь является конечной.
Доказательство:
Пусть М – компактное пространство, то есть хаусдорфово пространство, любое открытое покрытие которого содержит конечное подпокрытие. Тогда - окрестность x, такая, что имеет непустое пересечение с конечным числом . Так как М – компактное, то существует конечное число окрестностей , которые покрывают все пространство М. Перебрав все окрестности, каждая из которых имеет непустое пересечение с конечным числом , получим , что на компактном многообразии бесконечная сингулярная цепь имеет не более конечного числа ненулевых коэффициентов, то определение бесконечной дифференцируемой р-цепи совпадает с определением дифференцируемой р-цепи.
Лемма доказана.
Множество всех р-цепей образует векторное пространство относительно сложения цепей и умножения на скаляр. Определим эти операции. Суммой р-цепей будем называть линейную комбинацию сингулярных р-симплексов, коэффициенты которой получены из суммы коэффициентов при соответствующих р-симплексах (при умножении на скаляр – соответствующие коэффициенты умножаются на скаляр).
Множество всех р-цепей будем обозначать (множество бесконечных р-цепей ). Если f – дифференцируемое отображение М1 в М2 , то есть получаем
Полагая для симплексов и продолжая отображение по линейности получим линейное отображение . Для бесконечных цепей на f накладываются дополнительные условия. Отображение f называется собственным, если компактно для любого компактного .
Пусть – собственное отображение и – цепь на , то есть , где . Положим , где
, (1.2)
причем , если ни для какого s. Покажем, что сумма (1.2) конечна. Так как – симплекс на , то – сингулярный симплекс на , тогда . Учитывая возможность того, что такие, что , и приводя подобные члены, получаем, что сумма (1.2) конечна. Множество симплексов t, для которых , локально конечно. Поэтому формула (1.2) определяет бесконечную р-цепь на .
Пусть s – р-симплекс, тогда - (р-1) – симплекс. Определим границу симплекса s формулой . То есть граница р- симплекса определяется (р-1)-симплексами, а знак указывает направление обхода границы.
В качестве примера рассмотрим 2-симплекс:
Продолжим по линейности до отображения . Для бесконечных цепей отображение определяется аналогично:
, .
То есть для каждой р-цепи с (р-1)-цепь сопоставляет (р-1)-мерному сингулярному симплексу t число . Тогда и в случае конечных и в случае бесконечных цепей имеет место соотношение .
Из определения р-цепи следует, что равенство достаточно доказать для любого симплекса, тогда оно верно и для любой цепи.
Пусть s есть q-мерный симплекс. Если , то доказывать нечего. Если , то
.
Так как , то в нашем случае получим
, если .
Тогда
положим
.
Таким образом, равенство доказано.
1.3 Интегралы по р-мерным цепям.
Определение. р-цепь с, удовлетворяющая условию называется циклом; р-цепь вида , где d – некоторая (р+1)-цепь называется границей.
Равенство говорит о том, что пространство границ есть подпространство пространства циклов.
Определение. Факторпространство пространства циклов по пространству границ называется р-мерной группой гомологий и обозначается . Для бесконечных цепей р-мерная группа гомологий обозначается
Из определения следует, что если , то отображение перестановочно с . Поэтому переводит циклы в циклы, границы в границы.
Теперь рассмотрим дифференциальные формы и операцию внешнего дифференцирования
Определение. Носителем формы ω называется наименьшее замкнутое множество, вне которого она равна нулю.
Определение. Дифференциальная
←предыдущая следующая→
1 2 3
|
|