Конспект лекций по дискретной математике

Приложение Булевой алгебры к синтезу комбинационных схем

Двоичная система логики:

1. Элементы Булевой алгебры:

а) числа

b) переменные

с) операции

d) выражения

e) функции

f) законы

А) Числа:

Два числа: логический ноль и логическая единица в Булевой алгебре отождествляются с понятиями “истина” и ”ложь”.

В) Переменные:

Булевы (логические, двоичные) переменные называются переменными, принимающими значение из множества - ноль и единица.

С) Операции:

1. Отрицание (инверсия).

2. Конъюнкция (логическое умножение).

3. Дизъюнкция (логическое сложение).

Унарной является операция отрицания.

Обозначения:

1. Отрицание ,  x

2. Конъюнкция a&b, a•b, ab, ab

3. Дизъюнкция ab

D) Выражения:

Переменные, знакооперации, соединенные вместе при возможном наличии скобок для задания порядка выполнения операций.

Приоритет задается порядком операции.

Е) Функции:

Булевой (логической) функцией называется такая функция, аргументами которой являются булевы переменные, и сама функция принимает значение из множества ноль и единица.

Областью определения Булевой функции является совокупность 2n двоичных наборов ее аргументов. Набор аргументов можно рассматривать как n-компонентный двоичный вектор.

Формы задания Булевой функции:

1. Аналитическая (в виде логического выражения)

2. Табличная (в виде таблицы истинности)

3. Графическая

4. Таблично-графическая (в виде карты Карно)

5. Числовая

6. Символическая форма

1) Аналитическая:

_ _

y=(x1  x2) x3

_ _ _ _ _ _

y=x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3

2) Табличная:

x1

x2

x3 _

x1  x2

y

0 0 0 1 1

0 0 1 1 0

0 1 0 1 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 1 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 1 0

Переход от аналитической к табличной однозначен! Обратный переход не является однозначным.

Основные законы (тождества)

1) ab=ba

ab=ba

2) Ассоциативный:

a(bc)=(ab)c

a(bc)= (ab) c

3) Дистрибутивный:

a(bc)=abac

a(bc)=(ab)(ac)

4) Закон двойного отрицания:

=

a=a

5) Тавтологии:

aa=a

aa=a

6) Законы нулевого элемента:

a0=0

a0=a

7) Законы единичного элемента:

а1=а

а1=1

8) Законы дополнительного элемента:

_

В Булевой алгебре дополнительным элементом к а является а.

_ _

аа=1; аа=0

9) Двойственности (деМоргана):

__ _ _

ab=ab

___ _ _

ab=a b

Cледствия: ab=ab; ab=a b

10) Поглощения:

aab=a

a(ab)=a

11) Сокращения:

_

ааb=ab

_

a(ab)=ab _ _ _ _

Cледствия: aab=ab; a(ab)=ab

12) Склеивания:

_ _

abab=a; (ab)(ab)=a

Комментарии:

1) Для доказательства законов можно использовать:

а) Метод совершенной индукции.

б) Использование одних законов для доказательства других законов.

Метод совершенной индукции состоит в доказательстве эквивалентности левой и правой части на всем множестве наборов аргументов. Для этого составляется таблица истинности.

2) Большинство законов задается парой соотношений, при этом одно соотношение можно получить из другого заменив операции конъюнкции на дизъюнкцию или дизъюнкцию на конъюнкцию (метод не применим в законах, в которых участвуют константы). С константами же константы заменяются на противоположные значения. (Дуальность законов Булевой алгебры)

3) Некоторые законы можно распространять на произвольное число элементов.

4) В любом законе можно заменить любую букву на произвольное логическое выражение.

5) Законы применяются для упрощения Булевых функций.

Разнообразие Булевых функций.

1. Булева функция от одной переменной.

Обозначение аргумента и функции Значения аргумента и функции

Наименование функции

x 0 1

0 0 Логический ноль

0 1 Повторение x

1 0 Инверсия x

1 1 Логическая единица

2. Возможные функции от двух переменных.

Обозначение аргументов и функций Значение аргументов и функций

Обозначение функций Наименование Вырожденность Представление функции в булевом базисе

0 0 0 0 “0” Логический ноль + -

0 0 0 1 x1&x2 Конъюнкция - x1 x2

0 0 1 0 x1x2 Запрет x1 по x2 - x1 2

0 0 1 1 x1 Повторение x1 + -

0 1 0 0 x2x1 Запрет x2 по x1 - x2 1

0 1 0 1 x2 Повторение x2 + -

0 1 1 0 x1x2 Сумма по модулю 2 неравнозначная (исключительное или) XOR - 1 x2  x1 2

0 1 1 1 x1x2 Дизъюнкция - x1  x2

1 0 0 0 x1x2 Функция Вебба - x1x2

1 0 0 1 x1x2 Равнозначность - 1 2  x1 x2

1 0 1 0 2

Отрицание x2 + -

1 0 1 1 x2x1 Импликация от x2 к x1 - 2  x1

1 1 0 0 1

Отрицание x1 + -

1 1 0 1 x1x2 Импликация x1 к x2 - 1  x2

1 1 1 0 x1 | x2 Штрих Шеффера -

1 1 1 1 “1” Логическая единица + -

Определение: Булева функция от n аргументов fn(x) называется вырожденной по аргументу xi, если ее значение не зависит от этого аргумента, то есть для всех наборов аргументов имеет место равенство:

f(x1, x2, ... , xi-1, 0, xi+1, ... , xn) = f(x1, x2, xi-1, 1, xi+1, ... , xn).

Функция запрета x1x2 принимает значение, равное нулю при равенстве запрещающей переменной (x2) единице и повторяет значение аргумента x1 при равенстве запрещающей переменной нулю.

Понятие импликации в Булевой алгебре отождествляется с выражением следования (если ... то ... ).

Пример: Имеют место два простых высказывания.

А. На небе тучи.

В. Идет дождь. ВА

А В ВА

f f t

f t f

t f t

t t t

Из истины не может следовать ложь!

Некоторые функции от трех переменных.

Значение аргументов Значение функций

Сумма по модулю 2 Исключающее ИЛИ Функция мажоритарности

x1 x2 x3 x1x2x3 XOR (x1,x2,x3) x1#x2#x3

0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 1 0

0 1 0 1 1 0

0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 1 0

1 0 1 0 0 1

1 1 0 0 0 1

1 1 1 1 0 1

Функция - сумма по модулю 2 и исключающее ИЛИ являются эквивалентными только для двух аргументов.

n

Общее разнообразие функций от n аргументов равно 22

В самом компактном виде любую Булеву функцию можно представить символически: , где n-количество аргументов, а N-десятичный эквивалент двоичного набора значений функции на упорядоченном множестве аргументов.

Пример:

f3(x)=x1x2x3=

Невырожденные функции от двух переменных с добавлением функции отрицания принято называть функциями Булевой алгебры. С учетом обращаемости некоторых базовых функций к некоторым аргументам, их общее количество равно девяти.

Нормальные формы Булевых функций

Нормальные формы - это особый класс аналитических выражений, используемых при решении задачи минимизации Булевых функций