←предыдущая следующая→
1 2
ЭЛЛИПС.
Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фик¬сированных точек плоскости, называе¬мых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта по¬стоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса при¬нято обозначать через F1 и F2.
Пусть М—произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2. Отрезки F1М и F2М (так же как и длины этих отрезков) назы¬ваются фокальными радиусами точки М. По¬стоянную сумму фокаль¬ных ра¬диусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:
F1М + F2М = 2а.
Расстояние F1 и F2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фо-ку¬сами F1, F2.
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозна-чим, далее, через r1 и r2 расстояния от точки М до фокусов (r1 = F1М, r2 = F2М). Точка М будет нахо¬диться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда
r1 + r2 = 2а.
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r1 и r2 их выраже¬ниями через координаты х, у.
Заметим, что так как F1 F2 = 2с и так как фокусы F1 и F2 распо¬ложены на оси Ох симметрично от¬носительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); при¬няв это во внимание находим:
Заменяя r1 и r2, получаем:
Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки
М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведём обе части равенства в квадрат, полу¬чим:
или
Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:
а2х2 — 2а2сх + а2с2 + а2у2 = а4 — 2а2сх + с2х2 ,
откуда
(а2—с2)х2 + а2у2 = а2(а2—с2).
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину
;
а>с, следовательно, а2—с2>0 и величина b—вещественна.
b2 = a2—c2,
тогда
b2x2 + a2y2 = a2b2 ,
или
.
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.
Уравнение
,
определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравне-ние второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас¬стояния между фокусами этого эллип-са к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем:
.
Так как с0 и величина b—вещественна.
b2= с2—а2,
тогда
b2x2 — a2y2 = a2b2 ,
или
.
Уравнение
,
определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямо¬угольных коорди¬нат, есть урав¬нение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение рас¬стояния между фокусами этой ги-перболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет бук¬вой ε, получим:
.
Так как для гиперболы с>a, то ε>1; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заме¬тив, что c2 = a2+ b2, находим:
;
отсюда
и .
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением , а от¬ношение в свою очередь оп¬ределяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы ха¬рактеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.
Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше ε2—1, тем меньше, следо¬вательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем бо¬лее вытянут ее ос¬новной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторон-ней ги¬перболы a=b и ε=√2.
Рассмотрим какую-ни¬будь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением
.
Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, кото¬рая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами ги-пер¬болы.
Уравнения директрис в вы¬бранной системе координат имеют вид
и .
Первую из них мы усло¬вимся называть левой, вто¬рую —правой.
Так как для гиперболы ε >1, то .
Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гипер¬болы; ана¬логично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной.
ПАРАБОЛА.
Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фо¬ку¬сом, равно расстоянию до неко-торой фиксированной прямой, называемой ди¬ректрисой (пред¬полагается, что эта прямая не проходит через фокус).
Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от фокуса до ди¬ректрисы—буквой p. Величину р называют параметром параболы.
Пусть дана какая-нибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r рас¬стояние от точки М до фокуса (r=FM), через d—расстояние от точки М до дирек¬трисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда
r=d.
Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные r и d их выраже¬ниями через те¬кущие координаты х, у.
Заметим, что фокус F имеет координаты ; приняв это во внимание, находим:
.
Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевид-но, точка Q имеет координаты отсюда, получаем:
число положительное; это следует из того, что М (х; у) должна находиться с той сторо-ны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть , откуда .
Заменяя r и d, найдем
Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют коорди¬наты точки
М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе.
Возведем обе части равенства в квадрат; получим:
или
у2=2рх.
Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у2=2рх, определяю-щее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение вто-рой сте¬пени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.
Министерство образования РФ
Пензенская Государственная Архитектурно-Строительная
Академия
РЕФЕРАТ
Тема: «Кривые и поверхности второго порядка»
Выполнил: Богданович Ольга
Специальность: ОБД
Обозначение: 240400 Группа: ОБД-11
Проверил: Фадеева Г.Д.
Оценка:
Пенза – 2000.
Кривые
второго
порядка
Поверхности
второго
порядка
Эллипсоид
Однополостный гиперболоид
Двухполостный гиперболоид
Конус
Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид
←предыдущая следующая→
1 2
|
|