Пример: Транспортная логистика
Я ищу:
На главную  |  Добавить в избранное  

Математика /

Курсовая по прикладной математике ГУУ

←предыдущая  следующая→
1 2 3 4 



Скачать реферат


ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине "Прикладная математика"

14 вариант

Выполнил: Рудковский Ф.А.

Москва 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА

ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА

ЗАДАЧА О "РАСШИВКЕ УЗКИХ МЕСТ ПРОИЗВОДСТВА"

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАПИТАЛЬНЫХ ВЛОЖЕНИЙ

АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ И РИСКА ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ

ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА

Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известна технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли

(1)

Требуется составить производственную программу (x1, x2, x3, x4), максимизирующую прибыль

(2)

при ограничениях по ресурсам: (3)

где по смыслу задачи (4)

Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств (3) при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических

уравнений (5)

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов. Среди всех решений системы уравнений (5), удовлетворяющих условию неотрицательности х10, х20,… ,х50,…, х70. (6)

надо найти то решение, при котором функция (2) примет наибольшее значение.

Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (5) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид – дополнительные переменные являются базисными. Приравняв к нулю свободные переменные х1, х2, х3, х4, получаем базисное неотрицательное решение

x1=0, x2=0, x3=0, x4=0, x5=142, x6=100, x7=122 (7)

первые четыре компоненты которого определяют производственную программу x1=0, x2=0, x3=0, x4=0 (8)

по которой мы пока ничего не производим. Из выражения (2) видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию первого вида, так как прибыль на единицу продукции здесь наибольшая. Чем больше выпуск в этой продукции, тем больше прибыль. Выясним, до каких пор наши ресурсы позволяют увеличить выпуск этой продукции. Для этого придется записать для системы уравнений (5) общее решение

(9)

Мы пока сохраняем в общем решении х2=х3=х4=0 и увеличиваем только х1. При этом значения базисных переменных должны оставаться неотрицательными, что приводит к системе неравенств

или т.е. 0  х1 

Дадим х1 наибольшее значение х1 = , которое она может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, и подставим его в (9). Получаем для системы уравнений (5) частное неотрицательное решение:

х1= , х2=0, х3=0, х4=0; x5= ; x6= ; x7=0 (10)

Нетрудно убедиться, что это решение является новым базисным неотрицательным решением системы линейных алгебраических уравнений (5), для получения которого достаточно было принять в системе (5) неизвестную х1 за разрешающую и перейти к новому предпочитаемому виду этой системы, сохранив правые части уравнений неотрицательными, для чего за разрешающее уравнение мы обязаны принять третье, так как

, а разрешающим элементом будет а31=3.

Остается заметить, что процесс решения обычно записывается в виде некоторой таблицы 1.

~

С 34 20 8 23 0 0 0

Базис Н x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Пояснения

0 Х5 142 2 0 2 3 1 0 0 z0 = H

0 Х6 100 1 5 4 2 0 1 0

0 Х7 122 3 4 0 1 0 0 1

z0 -z 0 - z -34 -20 -8 -50 0 0 0

0 Х5

0 -8/3 2 7/3 1 0 -2/3 min (26; 35,6;122)=26

0 Х6

0 11/3 4 5/3 0 1 -1/3

34 Х1

1 4/3 0 1/3 0 0 1/3

z0 -z 4148/3-z 0 76/3 -8 -35/3 0 0 34/3

23 Х4 26 0 -8/7 6/7 1 3/7 0 -2/7

0 Х6 16 0 39/7 18/7 0 -5/7 1 1/7

34 Х1 32 1 12/7 -2/7 0 -1/7 0 3/7

z0 -z 1686-z 0 12 2 0 5 0 8 все j 0

Используя формулы исключения получаем для системы уравнений (5) новый предпочитаемый эквивалент и новую вспомогательную систему:

(11)

Первые три уравнения этой системы представляют некоторый предпочитаемый эквивалент системы уравнений (5) и определяют базисное неотрицательное решение (10) и производственную программу х1= , х2=0, х3=0, х4=0, а из последнего уравнения системы (11) получается выражение функции цели через свободные переменные:

Очевидно, если имеется хотя бы один отрицательный коэффициент j при какой-нибудь переменной xj в последнем уравнении системы (11), то производственная программа не является наилучшей и можно далее продолжать процесс ее улучшения. Мы нашли в последнем уравнении системы (11) наименьший отрицательный коэффициент min(j0, x4>0. Поэтому

2y1 + y2 + 3y3 - 34 = 0

3y1 + 2y2 + y3 - 23 = 0

Если же учесть, что второй ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, ее двойственная оценка равна нулю у2=0,

то приходим к системе уравнений

2y1 + 3y3 - 34 = 0

3y1 + y3 - 23 = 0

откуда следует у1=5, у3=8.

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов у1=5; у2=0; у3=8, (4)

причем общая оценка всех ресурсов равна 1686.

Заметим, что решение (4) содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Важен экономический смысл двойственных оценок. Например, двойственная оценка третьего ресурса у3=8 показывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 8 единицы.

ЗАДАЧА О "РАСШИВКЕ УЗКИХ МЕСТ ПРОИЗВОДСТВА"

При выполнении оптимальной производственной программы первый и третий ресурсы используются полностью, т.е. образуют узкие места производства. Будем их заказывать дополнительно. Пусть T(t1,t2,t3)- вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться услови

H + Q-1T 0.

Задача состоит в том, чтобы найти вектор T (t1, 0, t3), максимизирующий суммарный прирост прибыли W = 5t1 + 8t3 (1) при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы)

(2)

предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида (3)

причем по смыслу задачи t1 0, t3 0. (4)

Переписав неравенства (2) и (3) в виде:

(5)

из условия (3) следует t1142/3, t3122/3 (6)

приходим к задаче ЛП: максимизировать (1) при условиях (5), (6) и (4).

Эту задачу легко решить графически: см. рис. 2.

I.) -3/7t1+2/7t3= 26

II.) 5/7t1-1/7t3= 16

III.) 1/7t1-3/7t3 = 32

M (458/15, 122/3)

Программа расшивки имеет вид

t1=458/15, t2=0, t3=122/3 и прирост прибыли составит 5*458/15+8*122/3=478.

Сводка результатов приведена в таблице:

Cj 34 8 20 33 b x4+i yi ti

aij 2 0 2 3

1 5 4 2

3 4 0 1 142

100

122 0

16

0 5

0

8 488/15

0

122/3

Xj 32 0 0 26 1686 478

j 0

←предыдущая  следующая→
1 2 3 4 



Copyright © 2005—2007 «Mark5»