Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры

№1

1 Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г, являющейся замкну-той непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y)  D – произвольные ф-ции определенные и огра-ниченные на D. Диаметром области D наз. наи-большее расстояние между граничными точками. Область D разбивается на n частых областей D1…Dn конечным числом произв. кривых. Если S – площадь D, то Si – площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров областей обозн . В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi (i , Di)  Di, наз. промежуточ-ной. Если диаметр разбиения D   0 , то число n областей Di  . Вычислим зн-ие ф-ции в про-межуточных точках и составим сумму:I = f(i, Di)Si (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция f(x,y) наз. интегрируемой в области D если существует конечный предел интеграль-ной суммы.

Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы при   0. Обозн:

или

2 Понятие числового

ряда и его суммы

Пусть задана бесконечная последовательность чи-сел u1, u2, u3…

Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется чи-словым рядом, а числа его составляющие- члена-ми ряда.

Сумма конечно числа n первых членов ряда назы-вается n-ной частичной суммой ряда: Sn = u1+..+un

Если сущ. конечный предел: , то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходит-ся, если такого предела не существует, то говорят что ряд расходится и суммы не имеет.

№ 2

1 Условие существования

двойного интеграла

Необходимое, но недостаточное:

Ф-ция f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена на D.

1 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) непрерывна на замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D.

2 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) ограничена в замкнутой области D с ка-кой-то границей и непрерывна в ней за исключе-нием отдельных точек и гладки=х прямых в ко-нечном числе где она может иметь разрыв, то она интегрируема на D.

2 Геометрический и

арифметический ряды

Ряд состоящий из членов бесконечной геометри-ческой прогрессии наз. геометрическим: или

а+ аq +…+aqn-1

a  0 первый член q – знаменатель. Сумма ряда:

следовательно конечный предел последователь-ности частных сумм ряда зависит от величины q

Возможны случаи:

1 |q|1 и предел суммы так же равен бесконечности

т. е. ряд расходится.

3 при q = 1 получается ряд: а+а+…+а… Sn = na ряд расходится

4 при q1 ряд имеет вид: а-а+а … (-1)n-1a Sn=0 при n четном, Sn=a при n нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится.

Рассмотрим ряд из бесконечных членов арифме-тической прогрессии: u – первый член, d – разность. Сумма ряда

при любых u1 и d одновременно  0 и ряд всегда расходится.

№3

1 Основные св-ва 2ного интеграла

1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.

2. Если область G содержится в Д, а ф-ция огра-ничена и интегрируема в Д, то она интегрируема и в G.

3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2 области Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то:

4. константы выносятся за знак интеграла, а сум-му в ф-ции можно представить в виде суммы ин-тегралов:

5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их про-изведение также интегрируемо в Д. Если g(x,y)  0 то и f/g интегрируема в Д.

6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) =0 то и

7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и |f(x,y)| интегрир. в Д причем

обратное утверждение неверно, итз интегрируе-мости |f| не следует интегрируемость f.

8. Теорема о среднем значении.

Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка (, )  Д, что:

(2), где S – площадь фигуры Д. Значение f(, ) опред по ф-ле (2) наз. средним значением ф-ции f по области Д.

2 С-ва сходящихся рядов

Пусть даны два ряда: u1+u2+…un = (1) и v1+v2+…vn = (2)

Произведением ряда (1) на число   R наз ряд: u1+u2+…un = (3)

Суммой рядов (1) и (2) наз ряд:

(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) = (для разности там только - появица)

Т1 Об общем множителе

Если ряд (1) сходится и его сумма = S, то для лю-бого числа  ряд =  тоже схо-дится и его сумма S’ = S Если ряд (1) расходит-ся и   0, то и ряд тоже расходится. Т. е. общий множитель не влияет на расходимости ряда.

Т2 Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы = со-отв S и S’, то и ряд: тоже сходит-ся и если  его сумма, то  = S+S’. Т. е. сходя-щиеся ряды можно почленно складывать и вычи-тать. Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то их сумма(или разность) тоже расходится. А вот если оба ряда расходятся. то ихняя сумма (или разность)может как расходится (если un=vn) так и сходиться (если un=vn)

Для ряда (1) ряд называется n – ным остатком ряда. Если нный остаток ряда сходится, то его сумму будем обозначать: rn =

Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма = частичная сумма ряда Sn + rn

Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не влияет на сходимость (расходимость) ряда.

№4

1 Сведение

2ного интеграла к повторному

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)=1)сия ф-ция удовлетворяет условиям теоремы 1 поэтому сходимость (расходимости) ряда Ди-рихле равнозначна сходимости расходимости ин-теграла:

Возможны три случая:

1  >1,

Интеграл а потому и ряд сходится.

2 0