Ôèðñîâ Äìèòðèé 441
¹368Â
Îòîáðàçèòü âåðõíþþ ïîëîâèíó ïëîñêîñòî ñðàçðåçàìè ïî îòðåçêàì íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü.
Ðåøåíèå:
Îòîáðàæåíèå îòîáðàæàåò âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ñ ðàçðåçàìè íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü áåç ðàçðåçîâ (ïîä îïåðàöèåé âçÿòèÿ â êâàäðàòíûå ñêîáêè íàäî ïîíîìàòü âçÿòèå öåëîé ÷àñòè îò ÷èñëà). Äîêàæåì ýòî:
Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå èç ïîëîñû ïîëóïëîñêîñòè ñðàçðåçàìè â ïîëóïëîñêîñòü áåç ðàçðåçîâ. (*) ñîâåðøåííî î÷åâèäíî ,÷òî â íàøåì ñëó÷àå . Òî åñòü, ìû ïîëó÷àåì âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü áåç äåéñòâèòåëüíîé îñè. Ðàññìîòðèì îáðàç ëó÷à . Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (*) çíà÷åíèÿ z íà ëó÷å ìû ïîëó÷èì â îáðàçå ëó÷, ëåæàùèé íà äåéñòâèòåëüíîé îñè .  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èëè, ÷òî îáðàçîì ïîëîñû (1) ÿâëÿåòñÿ . Åñëè íà ïîëîñó ïëîñêîñòè áåç ðàçðåçà ïîäåéñòâîâàòü îòîáðàæåíèåì sin(Z) òî â îáðàçå ïîëó÷èì òàêîå ìíîæåñòâî (2). Ïðèìåíèâ îòîáðàæåíèå ê ïîëîñå(1) ñ ðàçðåçîì â îáðàçå ïîëó÷èì ìíîæåñòâî (2). Ïîýòîìó ôóíêöèÿ îòîáðàæàåò ïîëîñó ñ ðàçðåçîì â ïîëîñó áåç ðàçðåçà. Ïðîäîëæèì ýòó ôóíêöèþ íà âñþ ïîëóïëîñêîñòü ñ ðàçðåçàìè. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ çàäàííóþ â ïîëîñå ñ ðàçðåçîì. Ôóíêöèÿ îòîáðàæàåò ýòó ïîëîñó íà ïîëîñó áåç ðàçðåçà. È òîãäà îòîáðàæåíèå îòîáðàæàåò ïîëîñó áåç ðàçðåçà. Ïðîâåðèì ÿâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì ôóíêöèè . Äëÿ ýòîãî ïðèìåíèì òåîðåìó:
Òåîðåìà.
Ïóñòü ôóíêöèÿ àíàëèòè÷íà â îáëàñòè è ôóíêöèÿ àíàëèòè÷íà â îáëàñòè . È îáëàñòè è èìåþò îáùèé ôðàãìåíò ãðàíèöè . Åñëè ôóíêöèè íà ñîâïàäàþò òî ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì ôóíêöèè â îáëàñòü .
Åñòåñòâåííî ôóíêöèè è ñîâïàäàþò íà ëó÷å . Ïîýòîìó ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîì ïðîäîëæåíèåì ôóíêöèè íà ïîëîñó . Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìû ìîæåì ïðîäîëæìòü ôóíêöèþ íà âñþ âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ñ âûðåçàìè. È â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ôóíêöèþ: îòîáðàæàþùóþ âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ñ âûðåçàìè íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü áåç âûðåçîâ.