Математическое моделирование

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ

кафедра инновационного проектирования

В . М . КЛЕМПЕРТ

Методические указания

по выполнению курсовой работы в

курсе "Математическое моделирование"

Москва 1998

СОДЕРЖАНИЕ

1. Тематика курсовой работы 3

2. Задание на выполнение курсовой работы 17

3. Состав, объем и содержание курсовой работы 18

4. Оформление курсовой работы 18

5. Защита курсовой работы 19

1. ТЕМАТИКА КУРСОВОЙ РАБОТЫ

ВВЕДЕНИЕ

Различают четыре типа зависимостей между переменными:

1)Зависимость между неслучайными переменными, не требующую для своего изучения применения статистических методов;

2) 1)Зависимость случайной переменной y от неслучайных переменных, исследуемую методами регрессионного анализа;

3) 1)Зависимость между случайными переменными y и xi, изучаемую методами корре-ляционного анализа;

4) 1)Зависимость между неслучайными переменными, когда все они содержат ошибки измерения, требующую для своего изучения применения конфлюэнтного анализа.

Применение регрессионного анализа для обработки результатов наблюдений позволяет получить оценку влияния переменных, рассматриваемых в качестве аргументов (независимых переменных) на переменную, которая считается зависимой от первых.

Курсовая работа направлена на освоение методов регрессионного анализа в процессе разработки математического описания исследуемого процесса или явления. Курсовая работа предусматривает обработку экспериментальных данных и поиск наиболее удовлетворительной гипотезы взаимосвязи между функцией и аргументами.

В качестве таких гипотез рассматриваются линейная и нелинейная регрессионные мо-дели, каждая из которых может быть парной (только две переменных - функция и аргумент) или множественной (одна функция и несколько аргументов).

Относительно закона изменения независимых переменных x i не делается никаких огра-ничений -

ЛИНЕЙНАЯ ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ

Для нахождения теоретической линии регрессии по данным производственных замеров или специально поставленных экспериментов применяется метод наименьших квадратов, с помощью которого путем определенных вычислений находится уравнение y = f(x), соответ-ствующее взаимосвязи рассматриваемых параметров. А именно, отыскивается теоретическая линия регрессии у по х, занимающая в корреляционном поле такое положение, при котором вы-полняется требование, чтобы сумма квадратов расстояний от этой линии до каждой точки в корреляционном поле являлась минимальной.

При изображении корреляционного поля на графике по оси у откладывают значения функции, а по оси х — значения аргумента . Теоретическая линия регрессии у по х должна быть внесена в корреляционное поле таким образом, чтобы соблюдался принцип наименьших квадратов:

m

S2 =  yj2 =  ( yj  y' j)2 ( 1 )

j = 1

где j— порядковый номер точки в исходном числовом материале:

у j—измеренное значение функции для определенного значения аргумента (х);

y'/--расчетное значение функции при заданной величине аргумента (х) в соответствии с тео-ретической их взаимосвязью. В случае линейной зависимости

y'j = a + b x j. (2)

Задача сводится к отысканию коэффициентов регрессии а и b уравнения (2), т. е. зара-нее установлено, что рассматриваемые параметры у и х связаны линейной зависимостью по уравнению (2).

Величина yj представляющая собой расстояние от каждой точки корреляционного по-ля до теоретической линии регрессии, определяется из уравнения

yj = yj  ( a + b x j ) (3)

где x j— параметр х, соответствующий измеренному значению у j.

Для определения численных значений коэффициентов регрессии a и b, исходя из принципа наименьших квадратов отклонений, нужно приравнять нулю частные производные функции S 2 по a и b:

S 2/  a =  (  yj ) 2 /  a = 0, ( 4 )

S 2/  b =  (  yj ) 2 /  b = 0 ( 5 )

Выполнив необходимые преобразования, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными для определения a и b:

 y = m a + b  x

 yx = a  x + b x 2 . ( 6 )

Решая систему уравнений относительно a и b, находим численные знаяения коэффициентов регрессии. Величины y, x, yx, x2 находятся непосредственно по данным производственных измерений, которые заданы в курсовой работе.

Величина свободного члена уравнения регрессии (2), или коэффициента а равна функции у при x = 0.

Коэффициент b в уравнении регрессии характеризует изменение функции у при изменении аргумента х на единицу. и графически отражает угол наклона линии уравнения регрессии

При решении практических задач регрессионного анализа возникает вопрос об оценке тес-ноты исследуемой взаимосвязи, т. е. насколько полученные на основе обработки производст-венных или лабораторных данных уравнения регрессии достоверны. В случае парной линейной корреляции в качестве оценки тесноты связи используют обычно коэффициент корреляции, ко-торый рассчитывается по формуле:

r = ( XY  X * Y ) / (  x *  y ). ( 7 )

Числитель выражения для коэффициента корреляции r представляет собой разность между средним значением произведения XY и произведением средних значений X * Y измерен-ных значений параметров x и y исходной информации. Знаменатель равен произведению средних квадратических отклонений значений параметров у и х от своих средних. Средние квадратические отклонения (стандартные отклонения) рассчитываются по формулам:

 x = { [  ( x j  X ) 2 ] / m }1/2 ( 8 )

 y = { [  ( y j  Y ) 2 ] / m }1/2 . ( 9 )

Квадраты средних квадратических отклонений y и х ( x 2 и  y 2 ) называются диспер-сиями

D x = [  ( x j  X ) 2 ] / m ( 10 )

Dy = [  ( y j  Y ) 2 ] / m ( 11 )

и являются важными статистическими оценками рассеяния значений какой-либо величины около ее среднего значения.

Величина коэффициента корреляции r может изменяться от 0 при полном отсутствии связи до ±1 при наличии линейной функциональной связи х с у. Если r > 0, между х и у име-ет место положительная корреляционная связь, т. е. с ростом параметра х увеличивается пара-метр у, если r < 0, между х и у имеет место отрицательная связь. С коэффициентом рег-рессии b в уравнении (2) коэффициент корреляции связан соотношением

r = b  x /  y . ( 12 )

Угловой коэффициент регрессии b представляет собой тангенс угла наклона линии рег-рессии к оси абсцисс . Следовательно, чем больше наклон линии регрессии к оси абсцисс, тем больше значение коэффициента корреляции, т. е. тем значительнее будет изменение функции у при изменении на единицу аргумента х.

Малая величина коэффициента корреляции указывает на отсутствие линейной связи, однако криволинейная связь между рассматриваемыми параметрами при этом может быть дос-таточно тесной. Коэффициент корреляции отражает не только величину приращения у при из-менении х, но и тесноту связи функции и аргумента. Чем больше разброс точек относительно линии регрессии, тем меньше коэффициент корреляции. Это свойство коэффициента корреля-ции отражено в его формуле в виде соотношения стандартных отклонений.

Для оценки надежности полученного результата используют иногда критерий надеж-ности ,