Методы и алгоритмы построения элементов систем статистического моделирования

Факультет повешения квалификации преподавателей

при КГТУ им. А.Н. Туполева

Направление : Электроника и вычислительная техника

Секция : Моделирование

Выпускная работа

« Методы и алгоритмы построения элементов систем

статистического моделирования»

Выполнил : аспирант Аджели М. А.

Руководитель : профессор Захаров В. М.

Оценка : _______________

Подпись : _______________

Казань, 1999г.

Содержание

Введение

1. Метод статистического моделирования систем

2. Моделирование случайных величин и процессов

3. Основные понятия марковских процессов

4. Математический аппарат дискретных марковских цепей

Введение

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на осно-ве получаемой информации.

Метод моделирования широко применяют в таких областях, как ав-томатизация проектирования и организации в автоматизированных систе-мах научных исследований, в системах исследования и проектирования, в системах массового обслуживания, анализ различных сторон деятельности человека, автоматизированное управление производственными и другими процессами. Важно подчеркнуть, что моделирование используется при проектировании, создании, внедрении, эксплуатации систем, а также на различных уровнях их изучения, начиная от анализа работы элементов и кончая исследованием системы в целом при их взаимодействии с окру-жающей средой.

1. Метод статистического моделирования систем

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод статистического моделирования (Монте-Карло), кото-рый базируется на использовании случайных чисел, т.е. возможных значе-ний некоторой случайной величины с заданным распределением вероятно-стей. Статистическое моделирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в мо-делируемой системе. Для получения представляющих интерес оценки ха-рактеристик моделируемой системы S с учетом воздействий внешней сре-ды Е статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов математической статистики,

Сущность метода статистического моделирования сводится к по-строению для процесса функционирования исследуемой системы S неко-торого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимо-действие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды Е, и реализации этого алгоритма с использо-ванием программно-технических средств ЭВМ.

Различают две области применения метода статистического модели-рования: - для изучения стохастических систем;

- для решения детерминированных задач.

Основной идеей, которая используется для решения детерминированных задач методом статистического моделирования, является за-мена детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой стохас-тической системы, выходные характеристики последней совпадают с ре-зультатом решения детерминированной задачи. При такой замене погреш-ность уменьшается с увеличением числа испытаний (реализации модели-рующего алгоритма) N.

В результате статистического моделирования системы S получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализации N достаточно велико, то полученные результаты моделирова-ния системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы S.

При статистическом моделировании систем одним из основных во-просов является учет стохастических воздействий. Количество случайных чисел, используемых для получения статистически устойчивой оценки ха-рактеристики процесса функционирования системы S при реализации мо-делирующего алгоритма на ЭВМ, колеблется в достаточно широких пре-делах в зависимости от класса объекта моделирования, вида оцениваемых характеристик, необходимой точности и достоверности результатов моде-лирования. Для метода статистического моделирования на ЭВМ характер-но, что большое число операций, а соответственно большая доля машин-ного времени расходуются на действия со случайными числами. Кроме то-го, результаты статистического моделирования существенно зависят от ка-чества исходных (базовых) последовательностей случайных чисел. Поэто-му наличие простых и экономичных способов формирования последова-тельностей случайных чисел требуемого качества во многом определяет возможность практического использования машинного моделирования системы.

Понятие «статистическое моделирование» тесно связано с понятием «метод Монте-Карло» и почти ему тождественно.

Для решения задач методом Монте-Карло необходимо получать на ЭВМ последовательность выборочных значений случайной величины с за-данным распределением. Такой процесс принято называть моделировани-ем случайной величины. Случайные величины обычно моделируют с по-мощью преобразований одного или нескольких независимых значений случайной величины а, равномерно распределенной в интервале (0,1). Не-зависимые случайные величины, равномерно распределенные в интервале (0,1).

Можно выделить следующие этапы моделирования случайных вели-чин:

• генерирование N реализации случайной величины с требуемой функ-цией распределения;

• преобразование полученной величины, определяемой математической моделью;

• статистическая обработка реализации.

Особенностью первого этапа является то, что все методы для полу-чения заданного распределения используют преобразование равномерно распределенной величины.

Конструктивно задаются случайная величина, равномерно распреде-ленная в интервале (0,1), (0,l), далее производится отображение и получается новая случайная величина с распределением, опре-деляемым решаемой задачей, в общем случае может быть довольно сложным.

Далее следует получение некоторых характеристик. При параметрических оценках вычисляется некоторая функция . При непараметрическом задании функций распределения обычно вычисляются плотности или функции распределения. Чаще всего находят оценки мате-матической ожидания. Погрешность оценки определяется дисперсией (ес-ли она известна) по числу экспериментов N.

В результате можно выделить следующие этапы (рис. 4.1):

- подготовка исходных данных (блок 1),

- генерирование равномерно распределенных случайных чисел (блок 2),

- преобразования для получения заданного закона распределения (блок 3);

- выполнение дополнительных преобразований в соответствии с проблем ной областью (блок 4);

- статистическая обработка (блок 5).

Рис. 4.1. Технологический процесс в Монте-Карло системах

где:

- ПИД - подготовка исходных данных,

- ГРРСЧ - генерирование равномерно распределенных случайных чисел;

- ГПЗ - генерирование произвольного (заданного) закона распределения;

- ДПр - дополнительные преобразования;

- СО - статистическая обработка.

Имитационные системы имеют следующие функциональные блоки:

- имитации входных процессов;

- имитации правил переработки входной информации исследуемой систе-мы;

- накопления информации в результате моделирования;

- анализа накопленной информации;

- управления имитирующей системы.

Традиционный подход использует все классы задач, что и в методе Монте-Карло. Рассмотрим подробнее аналитический подход задания экзо-генных переменных (первый случай). Они являются выходными другой подсистемы макросистемы и сами представляют собой макромодель. В рассматриваемом случае характеристики заданы аналитически.

Информационно технологическая блок-схема представлена на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Технологический процесс имитационной системы

ГСП - генерирование случайных (входных) процессов;

ИС - имитационная система.

На первом этапе находят наиболее подходящие методы и алгоритмы для описания аналитических функций распределения и проводят вычисле-ния (блок 1) для определения исходных данных, например, при аппрокси-мационных методах - координаты узлов, коэффициентов и т.п.

Во втором и третьем блоках производится генерирование случайных чисел с равномерным распределением , и экзогенных случайных процес-сов .

Блок 4 имитирует работу исследуемой системы, результаты его ра-боты накапливаются для последующей статистической обработки. В по-следнем, пятом, блоке осуществляется статистическая обработка.

При моделировании систем на ЭВМ программная имитация случай-ных воздействий любой сложности сводится к генерированию некоторых стандартных (базовых) процессов и к их последующему функциональному преобразованию. В качестве базового может быть принят любой удобный в случае моделирования