Многочленные матрицы

Содержание

Введение …………………………………………………………………. 3

Глава I. Многочленные матрицы.

§1. Элементарные преобразования многочленной матрицы….. 4

§2. Канонический вид λ-матрицы……………………………….. 5

§3. Наибольшие общие делители миноров…………………….. 10

§4. Условия эквивалентности λ-матриц……………………….. 15

§5. Элементарные делители многочленной матрицы………… 19

Глава II. Матричные многочлены.

§1. Деление матричных многочленов. Обобщенная теорема Безу. 23

§2. Скалярная эквивалентность…………………………………. 28

§3. Характеристический многочлен матрицы…………………. 29

§4. Минимальный многочлен матрицы………………………… 31

§5. Критерий подобия матриц………………………………….. 33

§6. Нормальная форма Жордана……………………………….. 36

Глава III. Функции от матриц.

§1. Многочлен от жордановой матрицы……………………….. 40

§2. Скалярные функции…………………………………………. 42

§3. Представление значений функций многочленами………… 46

§4. Элементарные делители функций…………………………. 48

§5. Степенные ряды……………………………………………… 49

Литература ……………………………………………………………… 53

Введение

Дипломная работа состоит из трех глав.

Первые два параграфа I главы посвящены изучению свойств многочленных матриц. В §3, этой же главы, вводятся понятия наибольших общих делителей миноров и инвариантных множителей многочленной матрицы. На основе этого в последующих двух параграфах рассматриваются условия эквивалентности λ-матриц и строится аналитическая теория элементарных делителей.

С каждой квадратной матрицей связаны два многочлена: характеристический и минимальный. Эти многочлены играют большую роль в различных вопросах теории матриц. Во II главе рассматриваются свойства характеристического и минимального многочлена. Этому исследованию предпосылаются основные сведения о многочленах с матричными коэффициентами и о действиях над ними. Последний параграф II главы посвящен нормальной форме Жордана.

В главе III, посвященной функциям от матрицы, рассмотрены вопросы матричного исчисления, для решения которых используется возможность приведения матриц к нормальной жордановой форме. В §5, этой же главы, рассмотрен вопрос о сходимости степенного ряда от матрицы А.

Приведенный материал иллюстрируется в решениях различных примеров.

Глава I. Многочленные матрицы.

§1. Элементарные преобразования многочленной матрицы.

Многочленной матрицей или λ-матрицей называется прямоугольная (в частности, квадратная) матрица А (λ) = ║аі ј (λ) ║, где i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n; элементы которой являются многочленами от одного переменного λ с числовыми коэффициентами из основного поля К.

Элементарными преобразованиями λ-матрицы А(λ) называются преобразования следующих типов:

I. Перестановка двух строк.

II. Умножение строки на число с Є К, с ≠ 0.

III. Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на любой многочлен f (λ), и аналогичные преобразования столбцов.

Элементарные преобразования I, II, III равносильны умножению многочленной матрицы А(λ) слева соответственно на следующие квадратные матрицы порядка m:

(i) (j) (i) (j)

1 0 1 0 1 0

S' = с , S" = 1… b(λ) ….(i), S"' = 0 1 ,

0 1 0 1 1 0

0 1

т.е. в результате применения преобразований I, II, III матрица А(λ) преобразуется соответственно в матрицы S'• А(λ), S"• А(λ), S"'• А(λ). Поэтому преобразования типа I, II, III называются левыми элементарными операциями.

Совершенно аналогично определяются правые элементарные операции над многочленной матрицей (эти операции производятся не над строками, а над столбцами) и соответствующие им матрицы порядка n:

1 0 1 0 1 0

Т' = с (i), Т" = 1………….(i), Т"' = 0…1……….(i) b(λ)……….(j) 1…0……….(j) .

0 1 0 1 0 1

В результате применения правой элементарной операции матрица А(λ) умножается справа на соответствующую матрицу Т.

Заметим, что матрица Т' совпадает с матрицей S', а матрицы Т", Т"' совпадают с матрицами S", S"', если в последних поменять местами индексы i и j. Матрицы типа S', S", S"' (или, что то же, типа Т', Т", Т"') называются элементарными.

Две λ-матрицы А(λ) и B(λ) одинаковых размеров m x n называются эквивалентными, А(λ) ~ B(λ), если от матрицы А(λ) к B(λ) можно перейти при помощи цепочки из конечного числа элементарных преобразований. Отношение эквивалентности обладает тремя основными свойствами:

1) рефлексивность: каждая матрица эквивалентна сама себе А(λ) ~ B(λ);

2) симметрия: если А(λ) ~ B(λ), то B(λ) ~ А(λ);

3) транзитивность: если А(λ) ~ B(λ), и B(λ) ~ С(λ), то А(λ) ~ С(λ).

§2. Канонический вид λ-матрицы

Выше было показано, что отношение эквивалентности транзитивно, симметрично и рефлексивно. Отсюда следует, что совокупность всех λ-матриц данных размеров m x n разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных матриц, т.е. на такие классы, что любые две матрицы из одного класса эквивалентны, а из разных классов - не эквивалентны между собой. Возникает вопрос о канонической форме λ-матрицы, характеризующей данный класс эквивалентных λ-матриц.

Канонической диагональной λ-матрицей размеров m x n называется λ-матрица, у которой на главной диагонали стоят многочлены Е1(λ), Е2(λ), …, Ер(λ), где р - меньшее из чисел m и n, причем не равные нулю среди этих многочленов имеют старшие коэффициенты, равные единице, и каждый следующий многочлен делится на предыдущий, все же элементы вне главной диагонали равны нулю.

Т е о р е м а 1. Всякая λ-матрица конечным числом элементарных преобразований может быть приведена к канонической диагональной форме.

Доказательство. Пусть А(λ) - прямоугольная многочленная матрица. Применяя к А(λ) как левые, так и правые элементарные операции приведем к канонической диагональной форме.

Среди всех не равных нулю элементов аіј(λ) матрицы А(λ) возьмем тот элемент, который имеет наименьшую степень относительно λ, и путем соответствующей перестановки строк и столбцов сделаем его элементом а11(λ). После этого найдем частные и остатки от деления многочленов аі1(λ) и а1ј(λ) на а11(λ):

аі1(λ) = а11(λ) qі1(λ) + rі1 (λ), а1ј(λ) = а11(λ) q1ј(λ) + r1ј(λ)

(i = 2, 3, …, m; j = 2, 3, …, n).

Если хотя бы один из остатков rі1(λ), r1ј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n), например r1ј (λ), не равен тождественно нулю, то, вычитая из j-го столбца первый столбец, предварительно помноженный на q1ј(λ), мы заменим элемент а1ј(λ) остатком r1ј(λ), который имеет меньшую степень, нежели а11(λ). Тогда мы имеем возможность снова уменьшить степень элемента, стоящего в левом верхнем углу матрицы, поместив на это место элемент с наименьшей степенью относительно λ.

Если же все остатки r21(λ), … rm1(λ); r12(λ), …, r1n(λ) равны тождественно нулю, то, вычитая из i-ой строки первую, помноженную предварительно на qі1(λ) (i = 2, …, m), а из j-го столбца - первый, предварительно помноженный на q1ј(λ) (j = 2, …, n), мы приведем нашу матрицу к виду

а11(λ) 0 … 0

0 а22(λ) … а2n(λ)

….…………………… .

0 аm2(λ) … аmn(λ)

Если при этом хотя бы один из элементов аіј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n) не делится без остатка на а11(λ), то, прибавляя к первому столбцу тот столбец, который содержит этот элемент, мы придем к предыдущему случаю и, следовательно, снова сможем заменить элемент а11(λ) многочленом меньшей степени.

Поскольку первоначальный элемент а11(λ) имел определенную степень и процесс уменьшения этой степени не может неограниченно продолжаться, то после конечного числа элементарных операций мы должны получить матрицу вида

а1(λ) 0 … 0

(*) 0 b22(λ) … b 2n(λ)

….…………………… ,

0 bm2 (λ) …bmn (λ)

в которой все элементы bіј(λ) делятся без остатка на а1(λ). Если среди этих элементов bіј(λ) имеются не равные тождественно нулю, то продолжая тот же процесс приведения для строк с номерами 2, …, m и столбцов с номерами