←предыдущая следующая→
1 2
Государственный комитет Российской Федерации
по высшему и среднеспециальному образованию
Красноярский Государственный Технический Университет
Курсовая работа
по курсу
Математическая логика и теория алгоритмов
Выполнил студент гр. ВТ27-4
Попов А.В.
Проверила:
Пестунова Т.М.
1998
Содержание.
1. Постановка задачи (стр.3).
2. Построение модели (стр.3).
3. Описание алгоритма (стр.4).
4. Доказательство правильности алгоритма (стр.7).
5. Блок-схема алгоритма (стр.8).
6. Описание переменных и программа (стр.9).
7. Расчёт вычислительной сложности (стр.11).
8. Тестирование (стр.11).
9. Список литературы (стр.12).
Постановка задачи.
Перечислить все способы расстановки n ферзей на шахматной доске n на n, при которых они не бьют друг друга.
Построение модели.
Очевидно, на каждой из n горизонталей должно стоять по ферзю. Будем называть k-позицией (для k = 0, 1,...,n) произвольную расстановку k ферзей на k нижних горизонталях (ферзи могут бить друг друга). Нарисуем "дерево позиций": его корнем будет единственная 0-позиция, а из каждой k-позиции выходит n стрелок вверх в (k+1)-позиции. Эти n позиций отличаются положением ферзя на (k+1)-ой горизонтали. Будем считать, что расположение их на рисунке соответствует положению этого ферзя: левее та позиция, в которой ферзь расположен левее.
Дерево позиций для n = 2
Данное дерево представлено только для наглядности и простоты представления для n=2.
Среди позиций этого дерева нам надо отобрать те n-позиции, в которых ферзи не бьют друг друга. Программа будет "обходить дерево" и искать их. Чтобы не делать лишней работы, заметим вот что: если в какой-то k-позиции ферзи бьют друг друга, то ставить дальнейших ферзей смысла нет. Поэтому, обнаружив это, мы будем прекращать построение дерева в этом направлении.
Точнее, назовем k-позицию допустимой, если после удаления верхнего ферзя оставшиеся не бьют друг друга. Наша программа будет рассматривать только допустимые позиции.
Описание алгоритма.
Разобьем задачу на две части: (1) обход произвольного дерева и (2) реализацию дерева допустимых позиций.
Сформулируем задачу обхода произвольного дерева. Будем считать, что у нас имеется Робот, который в каждый момент находится в одной из вершин дерева. Он умеет выполнять команды:
вверх_налево (идти по самой левой из выходящих вверх стрелок)
вправо (перейти в соседнюю справа вершину)
вниз (спуститься вниз на один уровень)
вверх_налево
вправо
вниз
и проверки, соответствующие возможности выполнить каждую из команд, называемые "есть_сверху", "есть_справа", "есть_снизу" (последняя истинна всюду, кроме корня). Обратите внимание, что команда "вправо" позволяет перейти лишь к "родному брату", но не к "двоюродному".
Будем считать, что у Робота есть команда "обработать" и что его задача - обработать все листья (вершины, из которых нет стрелок вверх, то есть где условие "есть_сверху" ложно). Для нашей шахматной задачи команде обработать будет соответствовать проверка и печать позиции ферзей.
Доказательство правильности приводимой далее программы использует такие определения. Пусть фиксировано положение Робота в одной из вершин дерева. Тогда все листья дерева разбиваются на три категории: над Роботом, левее Робота и правее Робота. (Путь из корня в лист может проходить через вершину с Роботом, сворачивать влево, не доходя до нее и сворачивать вправо, не доходя до нее.) Через (ОЛ) обозначим условие "обработаны все листья левее Робота", а через (ОЛН) - условие "обработаны все листья левее и над Роботом".
Нам понадобится такая процедура:
procedure вверх_до_упора_и_обработать
{дано: (ОЛ), надо: (ОЛН)}
begin
{инвариант: ОЛ}
while есть_сверху do begin
вверх_налево
end
{ОЛ, Робот в листе}
обработать;
{ОЛН}
end;
Основной алгоритм:
дано: Робот в корне, листья не обработаны
надо: Робот в корне, листья обработаны
{ОЛ}
вверх_до_упора_и_обработать
{инвариант: ОЛН}
while есть_снизу do begin
if есть_справа then begin {ОЛН, есть справа}
вправо;
{ОЛ}
вверх_до_упора_и_обработать;
end else begin
{ОЛН, не есть_справа, есть_снизу}
вниз;
end;
end;
{ОЛН, Робот в корне => все листья обработаны}
Осталось воспользоваться следующими свойствами команд Робота (сверху записаны условия, в которых выполняется команда, снизу - утверждения о результате ее выполнения):
(1) {ОЛ, не есть_сверху} обработать {ОЛН}
(2) {ОЛ} вверх_налево {ОЛ}
(3) {есть_справа, ОЛН} вправо {ОЛ}
(4) {не есть_справа, ОЛН} вниз{ОЛН}
Теперь решим задачу об обходе дерева, если мы хотим, чтобы обрабатывались все вершины (не только листья).
Решение. Пусть x - некоторая вершина. Тогда любая вершина y относится к одной из четырех категорий. Рассмотрим путь из корня в y. Он может:
а) быть частью пути из корня в x (y ниже x);
б) свернуть налево с пути в x (y левее x);
в) пройти через x (y над x);
г) свернуть направо с пути в x (y правее x);
В частности, сама вершина x относится к категории в). Условия теперь будут такими:
(ОНЛ) обработаны все вершины ниже и левее;
(ОНЛН) обработаны все вершины ниже, левее и над.
Вот как будет выглядеть программа:
procedure вверх_до_упора_и_обработать
{дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)}
begin
{инвариант: ОНЛ}
while есть_сверху do begin
обработать
вверх_налево
end
{ОНЛ, Робот в листе}
обработать;
{ОНЛН}
end;
Основной алгоритм:
дано: Робот в корне, ничего не обработано
надо: Робот в корне, все вершины обработаны
{ОНЛ}
вверх_до_упора_и_обработать
{инвариант: ОНЛН}
while есть_снизу do begin
if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа}
вправо;
{ОНЛ}
вверх_до_упора_и_обработать;
end else begin
{ОЛН, не есть_справа, есть_снизу}
вниз;
end;
end;
{ОНЛН, Робот в корне => все вершины обработаны}
Приведенная только что программа обрабатывает вершину до того, как обработан любой из ее потомков. Теперь изменим ее, чтобы каждая вершина, не являющаяся листом, обрабатывалась дважды: один раз до, а другой раз после всех своих потомков. Листья по-прежнему обрабатываются по разу:
Под "обработано ниже и левее" будем понимать "ниже обработано по разу, слева обработано полностью (листья по разу, остальные по два)". Под "обработано ниже, левее и над" будем понимать "ниже обработано по разу, левее и над - полностью".
Программа будет такой:
procedure вверх_до_упора_и_обработать
{дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)}
begin
{инвариант: ОНЛ}
while есть_сверху do begin
обработать
вверх_налево
end
{ОНЛ, Робот в листе}
обработать;
{ОНЛН}
end;
Основной алгоритм:
дано: Робот в корне, ничего не обработано
надо: Робот в корне, все вершины обработаны
{ОНЛ}
вверх_до_упора_и_обработать
{инвариант: ОНЛН}
while есть_снизу do begin
if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа}
вправо;
{ОНЛ}
вверх_до_упора_и_обработать;
end else begin
{ОЛН, не есть_справа, есть_снизу}
вниз;
обработать;
end;
end;
{ОНЛН, Робот в корне => все вершины обработаны полностью}
Доказательство правильности алгоритма.
Докажем, что приведенная программа завершает работу (на любом конечном дереве).
Доказательство. Процедура вверх_налево завершает работу (высота Робота не может увеличиваться бесконечно).
←предыдущая следующая→
1 2