←предыдущая следующая→
1 2
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МАДИ (ТУ)
КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Выполнил: Белоногов М.В.
Группа 4ВЭДС3
Проверил: Беляков Г.С.
Москва 1999-2000
Раздел 1.
Выбор оптимального маршрута поездки.
Постановка задачи:
Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.
Порядок решения задачи:
1. Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.
А 1 Б
4 В 2
Д 3 Г
Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.
пункт i А Б В Д 1 4
yi 0
28 13 17 8,32 9
16,64
Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.
Затем пересчитываем величины yi используя правило:
Если yj + lij yi , то величина yi = yj + lij , в противном случае yi оставляем без изменений. Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.
yA + l4A=0+9=9 y4= y4=9
yA + lBA=0+13=13 yB= yB=13
yA + l1A=0+8,32=8,32 y1= y1=8,32
Теперь рассматриваем пункт i для которого yi перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.
y4 + lB4=9+7=16 yB=13
y4 + lД4=9+8=17 уД= yД=17
yВ + lДВ=13+12=25 yД=17
yВ + lБВ=13+15=28 уБ= yБ=28
yВ + l1В=13+9=22 у1=8,32
y1 + lВ1=8,32+10=18,32 yВ=13
y1 + lБ1=8,32+8,32=16,64 уБ=28 yБ=16,64
yД + l4Д=8,32+17=25,32 y4=9
yД + lВД=17+12,32=29,32 yВ=13
yБ + lВБ=16,64+15,32=31 yВ=13
yБ + l1Б=16,64+8=24,64 y1=8,32
Теперь проверим условие lij yi - yj для всех дуг сети.
l4A = у4 - уА 9=9-0
l4Д у4 – уД 8,329-17
lД4 = уД – у4 8=17-9
lДВ уД – уВ 1217-13
lBA = yB - yA 13=13-0
lBД yB – yД 12,3213-17
lBБ yB – yБ 15,3213-16,64
lB4 yB – y4 713-9
lB1 yB – y1 1013-8,32
lБВ уБ - уВ 1516,64-13
lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32
l1А = у1 – уА 8,32=8,32-0
l1В у1 – уВ 98,32-13
l1Б у1 – уБ 88,32-16,64
Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:
lij = yi - yj
Таковыми являются:
l4A = у4 - уА 9=9-0
lД4 = уД – у4 8=17-9
lBA = yB - yA 13=13-0
lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32
l1А = у1 – уА 8,32=8,32-0
Кратчайшие расстояния до пункта А равны:
пункт 4 Д Б 1 В
расстояние до А 9 17 16,64 8,32 13
Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.
2. Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.
А Б В Г Д
А --- 16 13,32 --- 17,64
Б 16,64 --- 15 21 ---
В 13 15,32 --- 15 12,32
Г --- 21,64 15,32 --- 16
Д 17 --- 12 16,32 ---
3. Математическая модель задачи коммивояжера:
Найти минимальное значение целевой функции z
n+1 n+1
min z = lij * xij
i=1 j=1
при следующих ограничениях:
из каждого города i нужно уехать только один раз
n+1
xij = 1 i=1, ......, n+1
j=1
в каждый город j нужно приехать только один раз:
n+1
xij = 1 j=1, ......, n+1
i=1
переменные xij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,
1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j
0 - в противном случае
решение есть простой цикл
4. Решение задачи:
А Б В Г Д
А --- 16 13,32 --- 17,64
Б 16,64 --- 15 21 ---
В 13 15,32 --- 15 12,32
Г --- 21,64 15,32 --- 16
Д 17 --- 12 16,32 ---
Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д
Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.
В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:
А – Б – Г – Д – В – А
min z = 16+21+16+12+13 = 78
Раздел 2.
Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ).
Постановка задачи:
В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:
B1 = 50.000 т
B2 = 60.000 т
B3 = 45.000 т
B4 = 70.000 т
Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.
Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.
Затраты на приготовление аб, руб
мощность АБЗ Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте, руб, Cpi + E*Kpi уд
т/час тыс. т/год 1 2 3 4
10 18 484 489 495 481
25 45 423 428 435 420
50 90 405 410 416 401
Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij, руб
Пункт размещения Зона-потребитель
1 28,3 60,3 45,3 90,3
2 61,3 30,3 93,3 48,3
3 50,3 95,3 33,3 62,3
4 99,3 54,3 65,3 36,3
Математическая модель транспортной задачи:
m n
min z = Cij * xij
i=1 j=1
Ограничения:
n
xij = ai i=1, ......, m
j=1
весь продукт ai имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.
m
xij = bj j=1, ......, n
i=1
спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен
xij 0 i=1, ...., m; j=1, ...., n
xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю
Транспортная таблица:
Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год B1=50 B2=60 B3=45 B4=70 Bф=135 Ui Ki
433,3 440,3 465,3 449,3 450,3 437,3 495,3 0
X1=90 50 40 0 5/9
433,3
←предыдущая следующая→
1 2
|
|