Основная теорема алгебры.
Всякий многочлен с любыми комплексными коэффициентами , степень которого не меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
План доказательства.
Лемма №1. Многочлен f(x) является непрерывной функцией комплексного переменного x.
Лемма №2. Если данн многочлен n-ой степени, n>0,
f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an
с произвольными комплексными коэффициентами и если k- любое положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю значений
|anxn|>k|axn-1+anxn-2+….+a0|
Лемма №3.
Лемма №4.(Лемма Даламбера).
Лемма №5.
Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна в замкнутом круге Е, то она ограничена.
Лемма №6.
Действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывная в замкнутом круге Е достигает своего минимума и максимума.
Доказательство основной теоремы.
Лемма №1.
Надо доказать, что |f(x0+x)-f(x0)|1 и
Лемма №2 доказана.
Лемма №3.
Доказательство.
(3)
применим лемму 2: при k=2 существует такое N1 , что при |x|> N1
|a0xn|>2|a1xn-1+a2xn-2+….+an|
откуда
|a1xn-1+a2xn-2+….+an|N=max(N1 ,N2) |f(x)|>M что и тебовалось доказать.
Лемма №3(Лемма Даламбера).
Если при x=x0 многочлен f(x) степени n, не обращаеться в нуль, то существует такое приращение h, в общем случае комплексное, что
|f(x0+h)|0 , следовательно g(x) непрерывна в Е.
Полученое противоречит тому, что M=sup{ f(x)}. Следовательно функция достигает свего максимума. Аналогично доказывается достижение минимума.
Доказательство основной теоремы.
Пусть дан многочлен f(x), очевидно что если an-свободный член, то f(0)= an. Теперь применим лемму№3: возьмем М=|f(0)| =|an| тогда существует такое N, что при |x|>N |f(x)|>M. Теперь возьмем круг Е ограниченный окружностью с центром в нуле и радиусом N, включая границы круга. Так как (по лемме №1) многочлен f(x)-непрерывен, то и |f(x)|-непрерывен внутри замкнутого круга Е, следовательно(по лемме №6), существует такая точка x0, что для всех x из E выполняется неравенство |f(x)|>=|f(x0)|. x0 является точкой минимума для |f(x)| внутри E. Т.к для любого x:|x|>N |f(x)|>M>|f(0)|>|f(x0)| точка x0 является точкой минимуа |f(x)| на всей комплексной плоскости.
|f(x0)|=0 т.к по лемме Даламбера если |f(x0)|0 то x0 не точка минимума для |f(x)| x0-корень многочлена f(x).
Теорема доказана.