Пределы

Предел.

Число А наз-ся пределом последоват-ти Xn если для любого числа Е>0, сколь угодно малого,  N0, такое что при всех n>N0 будет выполн-ся нер-во |Xn-A|N2 |Xn-и|N0. |a-b|=|a-Xn+Xn-b||a-Xn|+|Xn-b| |a-b|=0 => a=b.

2.теорема о сжатой переменной. n>N1 XnZnYn  limXn = lim Yn = a (n) =>  lim Zn=a (n)

Док-во: 1. из того, что  lim Xn=a (n) => n>N2 |Xn-a|a-E => lim Zn=a (n)

Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.

Бесконечно малая величина.

Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n, если lim Xn = 0 (n). E>0, N0, n>N0, |Xn|  E/2 N1, n>N1 |Xn| E/2 N2, n>N2 |Yn|N0, |XnYn||Xn|+|Yn| lim(XnYn)=0 (n). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.

2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.

Док-во:Xn – огр. величина =>  K, |Xn|  K,

Yn – б.м. =>  E/K N0 n>N0 |Yn| E N0 n>N0 |Xn-a| Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n).

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n, если M>0 N0, n>N0, |Xn|>M => MN1 |Xn|>M

из Yn – б.б. => M  N2, n>N2 |Yn|>M

N0=max(N1, N2) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M2>M

Lim XnYn= (n).

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn= (n) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn= => M=1/E N0, n>N0 |Xn|>M =>n>N0.

|Yn|=1/|Xn|Yn – б.м. => lim Yn=0 (n).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:

1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (XnYn)=ab (n)

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+n; lim Yn=b => Yn=b+n;

Xn  Yn = (a + n)  (b + n) = (a  b) + ( n bn) => lim(XnYn)=ab (n).

2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n).

3. lim Xn=a, lim Yn=b (n) => lim Xn/Yn =

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+n)/(b+n) – a/b = (ab+nb–ab–an)/b(b+n) =(bn-an)/b(b+n)=n => Xn/Yn=a/b+n =>  lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n).

Пределы ф-ии непрерывного аргумента.

Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при хx0, если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число >0, что при x будет выпол |x-x0|