Прикладная математика

Министерство общего и профессионального

образования Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра прикладной математики

Утверждено

первым проректором ГАУ

проф. Ю.Л. Старостиным

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению курсового проекта

по дисциплине

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

для студентов всех специальностей

дневного и вечернего отделения

Москва - 2000

УДК

Методические указания к выполнению курсовой работы по дисципли-не ”Прикладная математика”/Сост.: Колемаев В.А., Карандаев И.С. и др. ГУУ, М.:2000.

Составители

Колемаев В.А. – профессор, доктор экономических наук

§15.

Карандаев И.С. - доцент. §§2, 4-10

приложения I, III, IX.

Малыхин В.И. - профессор, доктор физико-математических наук

§§11-14, приложения V, VII, VIII.

Гатауллин Т.М. - доцент, кандидат физико-математических наук

§§1, 3, приложение IV.

Прохоров Ю.Г. - доцент, кандидат физико-математических наук

Приложение VI.

Юнисов Х.Х. – старший преподаватель, приложение II.

Ответственный редактор

заведующий кафедрой прикладной математики

доктор экономических наук, профессор

Колемаев В.А.

Рецензент

кандидат экономических наук, доцент

кафедры экономической кибернетики

Васильева Л.Н.

© Государственный университет управления, 2000

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебными планами всех специальностей ГУУ предусмотрено выполнение курсового проекта по дисциплине Прикладная математика. Как указано в про-грамме этой дисциплины, прикладная математика состоит из двух основных разделов: теории вероятностей и ее приложений и математических методов ис-следования операций, которые включают также финансовую математику, что особенно важно для студентов-заочников, специализирующихся в области фи-нансового и банковского менеджмента. Программой предусмотрено также изу-чение основных вопросов линейной алгебры.

Рекомендуется изучить основы теории систем линейных алгебраических уравнений по учебнику [1]. Напомним, что в задачах линейной оптимизации приходится в основном рассматривать системы линейных алгебраических урав-нений в предпочитаемой форме, когда каждое уравнение системы содержит не-известную, входящую только в это уравнение, причем с коэффициентом +1, а поиск оптимального решения сводится к направленному перебору базисных не-отрицательных решений. Поэтому студент должен иметь ввиду, что нет смысла приступать к рассмотрению линейной производственной задачи курсовой рабо-ты, пока не изучены основы теории систем линейных алгебраических уравнений, изложенные в §§ 1, 2 главы 1 учебника [1].

Краткое и сжатое изложение основных вопросов исследования операций дано в работе [7], а разбор задач - в пособии [16]. При этом полезно предварительно ознакомиться с работой [11], где некоторые важнейшие вопросы программы из-ложены весьма подробно и доходчиво. Специальные вопросы исследования опе-раций изложены в работах [6], [8] и [25].

Финансовая математика может быть изучена по работам [20], [23]. Необходи-мый для этого материал по теории вероятностей и математической статистике рекомендуется изучить по учебнику [2].

§1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСОВОГО ПРОЕКТА

Выполнение курсового проекта по прикладной математике направлено на усиление связи обучения студентов с практикой совершенствования управления, организации современного производства, всего механизма хозяйствования.

В процессе работы над курсовым проектом студент не только закрепляет и углубляет теоретические знания, полученные на лекциях и на практических за-нятиях, но и учится применять методы исследования операций при постановке и решении конкретных экономических задач.

Цель курсового проекта - подготовить студента к самостоятельному прове-дению операционного исследования, основными этапами которого являются по-строение математической модели, решение управленческой задачи при помощи модели и анализ полученных результатов.

§2. ЗАДАНИЕ НА КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

1. Сформулировать линейную производственную задачу и составить ее мате-матическую модель, взяв исходные данные из приложения 1, где технологиче-ская матрица А затрат различных ресурсов на единицу каждой продукции, век-тор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С при возможном выпуске четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов

компактно записаны в виде

c1 c2 c3 c4

а11 а12 а13 а14 b1

a21 a22 a23 a24 b2

a31 a32 a33 a34 b3

Преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного програм-мирования, решить ее методом направленного перебора базисных допустимых решений, обосновывая каждый шаг процесса, найти оптимальную производст-венную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать узкие места производства.

В последней симплексной таблице указать обращенный базис Q-1, соответст-вующий оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение соотношения

H = Q-1B

Если по оптимальной производственной программе какие-то два вида про-дукции не должны выпускаться, то в таблице исходных данных вычеркнуть со-ответствующие два столбца, составить математическую модель задачи оптими-зации производственной программы с двумя оставшимися переменными, сохра-нив прежнюю нумерацию переменных и решить графически.

2. Сформулировать задачу, двойственную линейной производственной зада-че, как задачу определения расчетных оценок ресурсов, и найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности (о дополняющей нежест-кости). Указать оценку единицы каждого ресурса, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценки технологий.

Применить найденные двойственные оценки ресурсов к решению следующей задачи.

Сформулировать задачу о "расшивке узких мест производства" и составить математическую модель. Определить область устойчивости двойственных оце-нок, где сохраняется структура программы производства. Решить задачу о рас-шивке узких мест производства при условии, что дополнительно можно полу-чить от поставщиков не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида (если задача окажется с двумя переменными, то только графически); найти план приобретения дополнительных объемов ресурсов, до-полнительную возможную прибыль.

По пунктам 1, 2, 3 составить сводку результатов [10, c. 21].

3. Составить математическую модель транспортной задачи по исходным дан-ным из приложения 2, где вектор объемов производства А(a1,..., am), потребления - В (b1,..., bn) и матрица транспортных издержек С=(сij), i = ; j = кратко записаны в виде

b1 b2 . . . bn

a1 c11 c12 . . . c1n

a2 c21 c22 . . . c2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am cm1 cm2 . . . cmn

Если полученная модель окажется открытой, то свести ее к замкнутой и найти оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов.

4. Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб., по исходным данным, приведенным в приложении 3 (выделяемые суммы кратны 100 тыс.).

5. Рассмотреть динамическую задачу управления производством и запасами. Решить конкретную задачу по исходным данным, приведенным в приложении 4.

6. Рассмотреть матричную игру как модель сотрудничества и конкуренции, взяв исходные данные из приложения 5. Найти графически решение игры. Ука-зать, как проявляется конкуренция между игроками и сотрудничество между ними.

7. Рассмотреть задачу о максимальном потоке в сети. Решить конкретную за-дачу на сети с 8-9 вершинами, предложив исходные данные самостоятельно.

8. Рассмотреть задачу о кратчайшем пути.